Calculadora del teorema del coseno

Q: ¿Cuándo debo usar el teorema del coseno?

Cuando conoces dos lados y el ángulo comprendido (LAL) o los tres lados (LLL). En esos casos no se conoce ningún lado junto con su ángulo opuesto, así que no se puede empezar con el teorema del seno.

Q: ¿Cómo se halla un ángulo con el teorema del coseno?

Despéjalo como cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), sustituye los tres lados y aplica el arcocoseno.

Q: ¿Qué relación tiene el teorema del coseno con el de Pitágoras?

Cuando el ángulo C mide 90°, cos C vale 0 y la fórmula queda c² = a² + b². El teorema del coseno es la versión general para cualquier triángulo.

Q: ¿Qué pasa si mis tres lados no forman un triángulo?

La calculadora comprueba la desigualdad triangular y muestra un error si un lado es al menos tan largo como los otros dos juntos, como con los lados 1, 2 y 5.

Q: ¿Los resultados son exactos o redondeados?

Cuando el tercer lado es una raíz cuadrada se muestra de forma exacta, como √39 o 2√19, junto con un decimal. Los ángulos se dan en grados decimales.

Q: ¿Cómo se calcula el área?

Con la fórmula área = ½ab sin C, usando dos lados y el ángulo que forman. En el modo LLL se halla primero el ángulo.

Q: ¿Puede el teorema del coseno dar dos triángulos?

No. Los datos LAL y LLL siempre determinan un único triángulo. El caso ambiguo con dos triángulos posibles solo aparece con datos LLA y el teorema del seno.

Sobre la calculadora del teorema del coseno

Los triángulos rectángulos se resuelven con el teorema de Pitágoras y la trigonometría básica, pero la mayoría de los triángulos de topografía, navegación, ingeniería y física no tienen ningún ángulo recto. El teorema del coseno, también llamado ley de cosenos, generaliza el de Pitágoras a cualquier triángulo, y es la herramienta adecuada cuando conoces dos lados y el ángulo que forman, o los tres lados y ningún ángulo.

Esta calculadora resuelve los dos casos. En el modo LAL halla el tercer lado, conservando un radical exacto como $\sqrt{39}$ cuando existe, y después los dos ángulos restantes. En el modo LLL comprueba que los lados pueden formar un triángulo y halla los tres ángulos. En ambos modos termina con el área.

¿Qué es el teorema del coseno?

En un triángulo de lados $a$ , $b$ y $c$ , opuestos a los ángulos $A$ , $B$ y $C$ , el teorema del coseno afirma que $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ . La misma relación se cumple para cada lado con su ángulo opuesto.

Cuando $C = 90°$ , $\cos C = 0$ y la fórmula se reduce a $c^2 = a^2 + b^2$ , el teorema de Pitágoras. El término adicional $-2ab\cos C$ corrige según el ángulo: acorta $c$ cuando $C$ es agudo y lo alarga cuando $C$ es obtuso, porque el coseno de un ángulo obtuso es negativo.

Cómo usar la calculadora del teorema del coseno

Elige LAL (dos lados y el ángulo comprendido) o LLL (tres lados).
Introduce los lados $a$ y $b$ .
En el modo LAL, introduce el ángulo comprendido $C$ en grados; en el modo LLL, introduce el tercer lado $c$ .
Pulsa Resolver el triángulo para ver el lado o los ángulos que faltan y, después, el área.
Comprueba el resultado: los ángulos deben sumar 180° y el ángulo mayor debe estar opuesto al lado más largo.

Fórmulas

Teorema del coseno

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Despejado para un ángulo

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Suma de los ángulos

A + B + C = 180^\circ

Área (LAL)

K = \tfrac12 ab\sin C

Ejemplo resuelto: a = 5, b = 7, C = 60°

El ejemplo tiene $a = 5$ , $b = 7$ y un ángulo comprendido $C = 60°$ . Como $\cos 60° = \frac12$ , la fórmula da $c^2 = 25 + 49 - 35 = 39$ , así que $c = \sqrt{39} \approx 6.245$ .

Después, el motor halla el ángulo $A$ con el teorema del coseno despejado, aproximadamente $43.898°$ , y el ángulo $B$ con la suma de los ángulos, aproximadamente $76.102°$ . El área es $\frac12 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 60° = \frac{35\sqrt3}{4} \approx 15.155$ .

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°

Cómo hemos leído tu problema

LAL: hallar el tercer lado y los ángulos restantes

Solución paso a paso

Sustituir en c² = a² + b² − 2ab·cos C
$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 39$
Extraer la raíz cuadrada
$c = \sqrt{39} = \sqrt{39} \approx 6.244997998$
Hallar el ángulo A con el teorema del coseno despejado
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.72057669 \Rightarrow A \approx 43.897886^\circ$
Los ángulos de un triángulo suman 180°
$B = 180^\circ - A - C \approx 76.102114^\circ$
Área a partir de dos lados y el ángulo comprendido
$\text{Área} = \tfrac12ab\sin C \approx 15.155445$

Fórmulas utilizadas

Teorema del coseno
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Despejado para un ángulo
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
Área
$\text{Área} = \tfrac12 ab\sin C$

El triángulo tiene lados a = 5, b = 7, c ≈ 6.244998 y ángulos A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°, C ≈ 60°. Es un triángulo escaleno acutángulo de área ≈ 15.155445 y perímetro ≈ 18.244998.

Comprobación

A + B + C = 180°.
La fórmula de Herón da la misma área: 15.155445.
Razones del teorema del seno: a/sin A ≈ 7.2111026, b/sin B ≈ 7.2111026, c/sin C ≈ 7.2111026.

Explicación detallada

Resolver triángulos LAL

Con dos lados y el ángulo que forman, el teorema del coseno da directamente el tercer lado. Solo es posible un triángulo, así que no hay ambigüedad. Con los tres lados conocidos, la fórmula despejada da cada ángulo por turno. La calculadora usa el teorema del coseno en lugar del teorema del seno para el segundo ángulo porque la fórmula del coseno no puede confundir un ángulo agudo con su suplementario obtuso.

Los ángulos comprendidos obtusos se tratan igual. Para $a = 4$ , $b = 6$ y $C = 120°$ , $\cos 120° = -\frac12$ , así que $c^2 = 16 + 36 + 24 = 76$ y $c = 2\sqrt{19} \approx 8.718$ , más largo que cualquiera de los lados dados, como cabía esperar.

Resolver triángulos LLL

Tres longitudes forman un triángulo solo si cada par suma más que la tercera: es la desigualdad triangular. La calculadora lo comprueba primero: los lados 1, 2 y 5 se rechazan porque $1 + 2 < 5$ . Con lados válidos calcula el ángulo $C$ y luego el ángulo $A$ , ambos con la fórmula despejada, y halla $B$ con la suma de los ángulos. Si introduces el lado más largo como $c$ , el primer ángulo calculado te dice si el triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo: los lados 3, 4 y 5 dan $C = 90°$ .

¿Teorema del coseno o teorema del seno?

Usa el teorema del coseno en los casos LAL y LLL, en los que no se conoce ningún par formado por un lado y su ángulo opuesto. Usa el teorema del seno en los casos ALA, LAA y LLA, en los que se conoce al menos un lado junto con su ángulo opuesto. El caso LLA puede tener dos soluciones; los casos del teorema del coseno nunca las tienen, lo que los convierte en el punto de partida más fiable cuando puedes elegir.

Errores frecuentes

Usar en el modo LAL un ángulo que no está comprendido entre los dos lados dados.
Olvidar el factor 2 de $2ab\cos C$ .
Dejar la calculadora en modo radianes cuando el ángulo está en grados.
Restar $2ab$ antes de multiplicar por $\cos C$ , lo que rompe la jerarquía de las operaciones.
Saltarse la comprobación de la desigualdad triangular y obtener un coseno imposible, mayor que 1.

Consejos

Nombra el triángulo de modo que el lado desconocido sea $c$ y el ángulo conocido sea $C$ .
El ángulo mayor siempre está opuesto al lado más largo; úsalo para comprobar tu respuesta.
Conserva valores exactos como $\sqrt{39}$ hasta el último paso para evitar errores de redondeo acumulados.
Usa la calculadora de la circunferencia goniométrica para recordar los cosenos exactos de los ángulos notables.
En los triángulos rectángulos es más rápido usar la fórmula de la distancia y el teorema de Pitágoras.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo debo usar el teorema del coseno?