Calculadora de matriz inversa

Sobre la calculadora de matriz inversa

La inversa de una matriz desempeña el papel que tiene la división con los números. Si $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ , entonces $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ , así que una inversa resuelve de una vez todos los sistemas con la misma matriz de coeficientes. Las inversas también deshacen transformaciones en gráficos por ordenador, descifran mensajes con el cifrado de Hill y aparecen en toda la estadística, en fórmulas como la de la regresión por mínimos cuadrados.

Esta calculadora comprueba primero que el determinante no es cero, porque solo entonces existe la inversa. Para una matriz $2 \times 2$ aplica la regla rápida de intercambiar y cambiar de signo. Para matrices mayores realiza la eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz ampliada $[A \mid I]$ y enumera cada operación de fila. Todos los elementos son fracciones exactas, y el último paso multiplica $A$ por el resultado para confirmar que aparece la matriz identidad.

¿Qué es la inversa de una matriz?

La inversa de una matriz cuadrada $A$ es la matriz $A^{-1}$ que cumple $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ , donde $I$ es la matriz identidad. Cuando existe es única, y la matriz se llama invertible o regular.

Una matriz cuadrada es invertible exactamente cuando su determinante no es cero. Condiciones equivalentes son que sus filas sean linealmente independientes, que su rango sea igual a su tamaño y que la ecuación $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ solo tenga la solución nula. Las matrices no cuadradas nunca tienen una inversa por ambos lados.

Cómo usar la calculadora de matriz inversa

Introduce una matriz cuadrada con espacios entre los elementos y punto y coma entre las filas, por ejemplo 4 7; 2 6.
Pulsa Calcular la inversa.
Revisa el paso del determinante; si es cero, la matriz no tiene inversa.
Sigue las operaciones de fila o la regla de 2×2 hasta la inversa.
Confirma la comprobación final de que A·A⁻¹ es igual a la identidad.

Fórmulas

Inversa de 2×2

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Método de Gauss-Jordan

[A \mid I] \;\longrightarrow\; [I \mid A^{-1}]

Inversa de un producto

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

Resolución de un sistema

A\mathbf{x} = \mathbf{b} \;\Rightarrow\; \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}

Ejemplo resuelto: Matriz de 2×2

El ejemplo invierte $A = \begin{pmatrix}4 & 7\\2 & 6\end{pmatrix}$ . Su determinante es $4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 10$ , que no es cero, así que la inversa existe.

Al intercambiar los elementos de la diagonal, cambiar el signo de los otros dos y dividir entre 10 se obtiene $\begin{pmatrix}\frac35 & -\frac{7}{10}\\-\frac15 & \frac25\end{pmatrix}$ . Al multiplicar esto por $A$ se recupera la matriz identidad, como confirma el último paso.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}

Cómo hemos leído tu problema

Calcular la inversa de una matriz de 2×2.

\begin{bmatrix}4 & 7 \\ 2 & 6\end{bmatrix}^{-1}

Solución paso a paso

Comprobar que el determinante no es cero
$\det A = 10 \neq 0$
Intercambiar a y d, cambiar el signo de b y c y dividir entre el determinante
$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix}6 & -7 \\ -2 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}$
Comprobación: A·A⁻¹ = I
$A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

Fórmulas utilizadas

Inversa de 2×2
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$
Gauss-Jordan
$[A \mid I] \sim [I \mid A^{-1}]$

El determinante es 10, así que A es invertible. Todos los elementos de la inversa son exactos.

Comprobación

Al multiplicar A por el resultado se obtiene exactamente la matriz identidad.

Explicación detallada

Eliminación de Gauss-Jordan

Para una matriz $3 \times 3$ o mayor, escribe $A$ y la identidad una al lado de la otra y aplica operaciones de fila a toda la matriz ampliada. Divide cada fila del pivote para que el pivote valga 1 y después anula todos los demás elementos de esa columna. Cuando la mitad izquierda se ha convertido en la identidad, la mitad derecha es $A^{-1}$ , porque la misma secuencia de operaciones que transforma $A$ en $I$ transforma $I$ en $A^{-1}$ .

Para la matriz con filas $(2, 0, 1)$ , $(1, 1, 0)$ y $(0, 1, 3)$ , la calculadora divide la primera fila entre 2, anula la primera columna, anula la segunda, divide la tercera fila entre $\frac72$ y anula la tercera columna. Todos los elementos de la inversa resultan ser múltiplos de $\frac17$ , porque el determinante es 7.

Matrices singulares

Si el determinante es cero, la eliminación produce una fila de ceros a la izquierda y nunca se llega a la identidad. La calculadora lo detecta al principio. La matriz $\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 4\end{pmatrix}$ es singular porque su segunda fila es el doble de la primera, así que la calculadora indica que no tiene inversa en lugar de mostrar una respuesta sin sentido.

Un determinante que solo es pequeño no supone un problema con aritmética exacta, pero es una señal de alarma con datos reales: la inversa tendrá elementos grandes, y los pequeños errores de medida en $A$ se amplificarán mucho.

Cómo usar la inversa

Para resolver $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ , multiplica $A^{-1}$ por $\mathbf{b}$ . Es eficaz cuando varios sistemas comparten la misma matriz. Para un único sistema, reducir directamente la matriz ampliada $[A \mid \mathbf{b}]$ suele costar menos que calcular antes la inversa completa.

El atajo para $2 \times 2$ no es un truco aparte: es lo que produce la eliminación de Gauss-Jordan cuando se aplica de forma simbólica a una matriz $2 \times 2$ general. Ver que el determinante $ad - bc$ aparece en el denominador de cada elemento explica por qué un determinante nulo hace imposible la inversa.

Errores frecuentes

Olvidar dividir entre el determinante en la fórmula de 2×2.
Intercambiar los elementos fuera de la diagonal en lugar de cambiarles el signo.
Aplicar una operación de fila solo a la mitad izquierda de la matriz ampliada.
Escribir $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ ; el orden se invierte.
Intentar invertir una matriz cuyo determinante es cero.

Consejos

Calcula primero el determinante; si es cero, para.
Mantén los elementos como fracciones para evitar errores de redondeo que estropeen la comprobación de la identidad.
Comprueba el resultado multiplicando $A$ por tu respuesta; cada elemento de la diagonal debe ser 1 y el resto 0.
Busca el determinante en los denominadores de los elementos de la inversa.
Usa la calculadora de matrices para multiplicar la inversa por un vector de términos independientes.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la inversa de una matriz de 2×2?

Intercambia los dos elementos de la diagonal, cambia el signo de los otros dos y divide cada elemento entre el determinante ad − bc.

¿Cómo se calcula la inversa de una matriz de 3×3?

Escribe la matriz ampliada [A | I] y usa operaciones de fila para convertir la mitad izquierda en la identidad. La mitad derecha es entonces la inversa.

¿Cuándo no tiene inversa una matriz?

Cuando su determinante es cero. Esa matriz se llama singular; sus filas son linealmente dependientes y la eliminación no puede llegar a la identidad.

¿Cómo puedo comprobar una inversa?

Multiplica la matriz original por la inversa. Si el resultado es la matriz identidad, la inversa es correcta. La calculadora lo hace automáticamente.

¿Tiene inversa una matriz no cuadrada?

No. Solo las matrices cuadradas pueden tener una inversa que funcione por ambos lados.

¿Puedo introducir decimales?

Sí. Los decimales se convierten en fracciones exactas, así que 0.5 se trata como 1/2 y la inversa se calcula de forma exacta.

¿Cuál es la inversa de la matriz identidad?

La propia matriz identidad, porque al multiplicarla por sí misma no cambia.

Prueba la calculadora de matriz inversa

Introduce una matriz cuadrada y obtén su inversa exacta, con cada operación de fila y la comprobación final.

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