Cómo calcular el determinante de una matriz

Qué mide el determinante

Toda matriz cuadrada tiene un determinante, que se escribe $\det(A)$ o $|A|$. Las matrices que no son cuadradas no lo tienen. El determinante responde de inmediato a una pregunta clave: una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante no es cero. Un determinante nulo significa que la matriz aplasta el espacio en una dimensión menor, de modo que se pierde información que no se puede recuperar.

Geométricamente, el valor absoluto del determinante es el factor por el que la matriz escala las áreas en dos dimensiones, o los volúmenes en tres. Su signo indica si la transformación conserva o invierte la orientación, igual que un espejo intercambia izquierda y derecha.

La fórmula para matrices de 2 por 2

En una matriz $2 \times 2$, multiplica los elementos de la diagonal principal y resta el producto de los de la otra diagonal:

Aquí la interpretación como área es fácil de ver. Las columnas $(3, 1)$ y $(1, 2)$ de la matriz $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ generan un paralelogramo, y su área es $|3 \cdot 2 - 1 \cdot 1| = 5$, que es el determinante.

Desarrollo por cofactores para matrices de 3 por 3

En matrices más grandes, el desarrollo por cofactores, también llamado desarrollo por adjuntos o de Laplace, reduce el problema a determinantes más pequeños. Elige una fila, por ejemplo la primera. Para cada elemento, elimina su fila y su columna para obtener una matriz más pequeña, cuyo determinante se llama menor, y multiplica el elemento por ese menor. Después combina los resultados con el tablero de signos $+, -, +$:

Puedes desarrollar por cualquier fila o columna y el resultado es el mismo. Elige la que tenga más ceros, porque cada cero elimina un término entero.

La regla de Sarrus, un atajo solo para 3 por 3

Para las matrices $3 \times 3$ existe un atajo fácil de recordar. Suma los tres productos que bajan hacia la derecha, continuando por el otro borde, y resta los tres productos que bajan hacia la izquierda. Para la matriz del ejemplo 2, los productos descendentes son $2 \cdot 0 \cdot 5 = 0$, $(-3)(-1)(1) = 3$ y $1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$, que suman 11. Los productos ascendentes son $1 \cdot 0 \cdot 1 = 0$, $2 \cdot (-1) \cdot 4 = -8$ y $(-3) \cdot 2 \cdot 5 = -30$, que suman $-38$. El determinante es $11 - (-38) = 49$, igual que con el método de los cofactores.

Cuidado: la regla de Sarrus solo funciona con matrices $3 \times 3$. Aplicar el mismo esquema de diagonales a una matriz $4 \times 4$ da un resultado incorrecto, un error frecuente que sale caro en los exámenes.

Reducción por filas para matrices más grandes

El desarrollo por cofactores se vuelve lento enseguida: una matriz $10 \times 10$ requeriría millones de productos. La reducción por filas es mucho más eficiente. El determinante de una matriz triangular es simplemente el producto de los elementos de su diagonal, así que se reduce la matriz a forma triangular teniendo en cuenta cómo afecta cada operación elemental al determinante:

• Sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante.
• Intercambiar dos filas multiplica el determinante por $-1$.
• Multiplicar una fila por un número $k$ multiplica el determinante por $k$.

Propiedades que ahorran trabajo

• Una matriz con una fila o una columna de ceros tiene determinante 0.
• Una matriz con dos filas iguales, o con una fila múltiplo de otra, tiene determinante 0.
• Para una matriz $n \times n$, $\det(kA) = k^n\det(A)$, no $k\det(A)$.
• El determinante de la matriz identidad es 1.

Estas reglas permiten hallar muchos determinantes sin calcular nada. Si observas que una fila es el doble de otra, el determinante es cero y la matriz no tiene inversa, algo que puedes confirmar con la guía sobre la inversa de una matriz.

La regla de Cramer: resolver sistemas con determinantes

Los determinantes permiten resolver directamente sistemas lineales pequeños. Para $2x + y = 5$ y $x - 3y = -1$, el determinante de los coeficientes es $D = 2(-3) - 1(1) = -7$. Sustituye la primera columna por los términos independientes para obtener $D_x = 5(-3) - 1(-1) = -14$, y la segunda columna para obtener $D_y = 2(-1) - 5(1) = -7$. Entonces $x = \frac{D_x}{D} = 2$ e $y = \frac{D_y}{D} = 1$.

La regla de Cramer es elegante y práctica para sistemas $2 \times 2$ y $3 \times 3$, pero resulta ineficiente para sistemas mayores, en los que la eliminación es más rápida. Si $D = 0$, el sistema no tiene solución o tiene infinitas. La calculadora de determinantes muestra los pasos del desarrollo por cofactores y de la reducción por filas para matrices de cualquier tamaño, y la calculadora de matrices se encarga de la aritmética complementaria.

Un ejemplo de 4 por 4: deja que los ceros trabajen

Los determinantes grandes se vuelven manejables cuando se aprovechan los ceros. Considera la matriz de filas $(1, 0, 2, 0)$, $(3, 1, 0, 0)$, $(0, 0, 2, 1)$ y $(0, 0, 0, 4)$. La última fila tiene tres ceros, así que al desarrollar por ella queda un solo término: el elemento 4, en una posición con signo más, multiplicado por el determinante de la matriz $3 \times 3$ que queda al eliminar la última fila y la última columna.

Esa matriz más pequeña tiene filas $(1, 0, 2)$, $(3, 1, 0)$ y $(0, 0, 2)$. Su última fila también tiene dos ceros, así que se vuelve a desarrollar: el elemento 2 multiplicado por $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1$ da 2. Por tanto, el determinante completo es $4 \cdot 2 = 8$. Sin los ceros, el mismo cálculo habría requerido veinticuatro productos de cuatro números cada uno.

Errores frecuentes que conviene evitar

• Olvidar los signos alternos del desarrollo por cofactores, sobre todo el signo menos de la segunda posición de la primera fila.
• Usar la regla de las diagonales de Sarrus en una matriz $4 \times 4$ o mayor.
• Multiplicar una fila por un número durante la reducción sin ajustar el determinante.
• Intercambiar filas y olvidarse de cambiar el signo.
• Suponer que $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$, lo cual es falso en general; solo los productos se separan limpiamente.

Un hábito útil es calcular un determinante $3 \times 3$ de dos maneras, por ejemplo desarrollando por una fila y después por una columna que tenga un cero. Si los resultados coinciden puedes estar seguro, y si difieren la discrepancia te lleva a un error de signo.

Determinantes en tres dimensiones

En tres dimensiones, el valor absoluto de un determinante $3 \times 3$ es el volumen del paralelepípedo, una caja inclinada, cuyas aristas son los tres vectores columna. Por tanto, la matriz del ejemplo 2 transforma un cubo unidad en un sólido de volumen 49. La misma idea da una prueba rápida para saber si tres vectores están en un mismo plano: lo están exactamente cuando el determinante es cero, porque una caja plana no tiene volumen. El producto vectorial está muy relacionado, ya que suele calcularse como un determinante simbólico $3 \times 3$.

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