Calculadora de determinantes

Sobre la calculadora de determinantes

El determinante resume una matriz cuadrada en un solo número que responde a la vez a varias preguntas importantes. ¿Es invertible la matriz? ¿Tiene solución única el sistema lineal que representa? ¿Por qué factor estira la transformación las áreas o los volúmenes, y cambia la orientación? Todo esto se lee en el determinante.

Esta calculadora obtiene determinantes de matrices cuadradas de cualquier tamaño razonable. Elige el método que usaría un libro de texto: el producto cruzado de diagonales para matrices $2 \times 2$ , el desarrollo por la primera fila para matrices $3 \times 3$ y la eliminación hasta forma triangular superior para $4 \times 4$ y mayores. Las fracciones y los decimales se convierten en fracciones exactas, así que la respuesta es exacta.

¿Qué es un determinante?

El determinante es un número $\det(A)$ , que también se escribe $|A|$ , definido para toda matriz cuadrada. Para una matriz $2 \times 2$ vale $ad - bc$ . Para matrices mayores se define de forma recursiva mediante el desarrollo por adjuntos o, de forma equivalente, como una suma con signo sobre todas las permutaciones de las columnas.

Geométricamente, $|\det(A)|$ es el factor por el que la aplicación lineal $A$ multiplica las áreas en dos dimensiones o los volúmenes en tres. Un determinante negativo significa que la aplicación invierte la orientación, como una simetría, y un determinante nulo significa que aplasta el espacio en una dimensión menor.

Cómo usar la calculadora de determinantes

Introduce una matriz cuadrada con espacios entre los elementos y punto y coma entre las filas, por ejemplo 2 -3 1; 2 0 -1; 1 4 5.
Pulsa Calcular el determinante.
Lee el método utilizado para el tamaño de tu matriz y cada valor intermedio.
Comprueba si el determinante es cero para saber si la matriz es invertible.

Fórmulas

Determinante de 2×2

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Desarrollo por adjuntos (primera fila)

\det(A) = \sum_{j} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, M_{1j}

Determinante de un producto

\det(AB) = \det(A)\,\det(B)

Matriz triangular

\det(U) = u_{11}\,u_{22}\cdots u_{nn}

Ejemplo resuelto: Matriz de 3×3

El ejemplo calcula el determinante de la matriz $3 \times 3$ con filas $(2, -3, 1)$ , $(2, 0, -1)$ y $(1, 4, 5)$ desarrollando por la primera fila. Cada elemento de la primera fila se multiplica por el menor $2 \times 2$ que queda al suprimir su fila y su columna, con los signos $+$ , $-$ , $+$ .

Los menores valen 4, 11 y 8, así que el determinante es $2 \cdot 4 - (-3) \cdot 11 + 1 \cdot 8 = 8 + 33 + 8 = 49$ . Un valor distinto de cero significa que esta matriz es invertible.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

\det A = 49

Cómo hemos leído tu problema

Calcular el determinante de una matriz de 3×3.

\det \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}

Solución paso a paso

Leer la matriz de 3×3
$A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}$
Desarrollar por la primera fila (desarrollo por adjuntos)
$\det A = (2)\begin{vmatrix}0 & -1 \\ 4 & 5\end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 1 & 5\end{vmatrix} + (1)\begin{vmatrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{vmatrix}$
Calcular cada menor de 2×2
$M_{11} = 4,\quad M_{12} = 11,\quad M_{13} = 8$
Combinar con los signos alternos + − +
$\det A = (2)(4) - (-3)(11) + (1)(8) = 49$

Fórmulas utilizadas

Determinante de 2×2
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
Desarrollo por adjuntos
$\det A = \sum_{j} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$

El determinante es 49, que no es cero, así que la matriz es invertible y sus filas son linealmente independientes.

Comprobación

Calculado de forma exacta con fracciones; la reducción por filas da el mismo valor 49.

Explicación detallada

Desarrollo por adjuntos

El menor $M_{ij}$ es el determinante de la matriz que queda al suprimir la fila $i$ y la columna $j$ . El adjunto le añade el signo $(-1)^{i+j}$ , que sigue un patrón de tablero de ajedrez que empieza con $+$ en la esquina superior izquierda. Desarrollar por cualquier fila o columna da el mismo resultado, así que a mano conviene elegir una fila o columna con ceros.

El desarrollo por adjuntos es ideal para matrices $3 \times 3$ , pero crece muy deprisa: un desarrollo $4 \times 4$ necesita cuatro determinantes $3 \times 3$ , y uno $10 \times 10$ necesitaría millones de términos. Por eso la calculadora cambia de método con las matrices más grandes.

Reducción por filas a forma triangular

Sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante, intercambiar dos filas le cambia el signo y multiplicar una fila por un número multiplica el determinante por ese mismo número. Con estas reglas, la calculadora anula los elementos situados bajo cada pivote hasta que la matriz es triangular superior y después multiplica los elementos de la diagonal. Para la matriz $4 \times 4$ con filas $(1, 0, 2, 0)$ , $(0, 3, 0, 1)$ , $(2, 0, 1, 0)$ y $(0, 1, 0, 2)$ se obtiene $-15$ .

Qué significa un determinante nulo

Un determinante igual a cero significa que las filas son linealmente dependientes: al menos una fila es combinación de las demás. La matriz no tiene inversa, y el sistema $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ no tiene solución o tiene infinitas. La matriz con filas $(1, 2, 3)$ , $(4, 5, 6)$ y $(7, 8, 9)$ es el ejemplo clásico; su determinante es 0 porque la fila central es la media de las otras dos.

Los determinantes también aparecen en la regla de Cramer para resolver sistemas pequeños, en el polinomio característico $\det(A - \lambda I) = 0$ , cuyas raíces son los valores propios, y en la fórmula del cambio de variables para integrales múltiples.

Errores frecuentes

Calcular $ad + bc$ o $ab - cd$ en lugar de $ad - bc$ .
Olvidar los signos alternos del desarrollo por adjuntos.
Usar un menor equivocado por suprimir la fila o la columna que no es.
No tener en cuenta el cambio de signo al intercambiar dos filas durante la reducción.
Intentar calcular el determinante de una matriz que no es cuadrada.

Consejos

Desarrolla por la fila o la columna que tenga más ceros.
Saca primero factor común de una fila; el determinante queda multiplicado por ese mismo número.
Si dos filas son iguales o proporcionales, el determinante es 0 sin más cálculos.
Usa $\det(A^{T}) = \det(A)$ para desarrollar por una columna cuando sea más cómodo.
Usa la calculadora de matriz inversa cuando el determinante no sea cero y necesites $A^{-1}$ .
Usa la calculadora de valores propios, que se basa en $\det(A - \lambda I)$ .

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el determinante de una matriz de 2×2?

Multiplica los elementos de la diagonal principal y resta el producto de la otra diagonal: para las filas (a, b) y (c, d), el determinante es ad − bc.

¿Cómo se calcula el determinante de una matriz de 3×3?

Desarrolla por una fila: multiplica cada elemento por su menor de 2×2, aplica los signos +, −, + y suma. La calculadora muestra cada menor y la suma final.

¿Qué método se usa para matrices de 4×4 y mayores?

La reducción por filas a forma triangular superior, seguida del producto de los elementos de la diagonal. Con matrices grandes es mucho más rápido que el desarrollo por adjuntos.

¿Qué significa que el determinante sea cero?

Que la matriz es singular: sus filas son linealmente dependientes, no tiene inversa y el sistema lineal correspondiente no tiene solución única.

¿Puede un determinante ser negativo?

Sí. Un determinante negativo significa que la transformación invierte la orientación. Su valor absoluto sigue siendo el factor de escala de áreas o volúmenes.

¿Puedo calcular el determinante de una matriz no cuadrada?

No. Los determinantes solo están definidos para matrices cuadradas, y la calculadora indica el tamaño de una entrada no cuadrada.

¿Se admiten fracciones?

Sí. Las fracciones y los decimales se convierten en fracciones exactas, así que el determinante es exacto.

Prueba la calculadora de determinantes

Introduce una matriz cuadrada y obtén su determinante exacto con el método adecuado y cada paso explicado.

Usar la calculadora Preguntar al solucionador con IA