Calculadora de producto vectorial

Sobre la calculadora de producto vectorial

El producto vectorial toma dos vectores del espacio y produce un tercer vector perpendicular a ambos. Es la forma habitual de hallar un vector normal a un plano, calcular el área de un paralelogramo o de un triángulo en 3D y describir magnitudes de rotación en física, como el momento de una fuerza y el momento angular.

Esta calculadora obtiene $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ para vectores tridimensionales con la conocida disposición en forma de determinante, con $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ y $\mathbf{k}$ en la primera fila. Muestra cada componente por separado, incluido el cambio de signo del término central, que provoca la mayoría de los errores, y después da el módulo y confirma que el resultado es ortogonal a los dos vectores dados.

¿Qué es el producto vectorial?

Para los vectores $\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle$ y $\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ , el producto vectorial es el vector $\langle u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$ . Está definido para vectores tridimensionales, y el resultado vuelve a ser un vector de tres dimensiones.

Su dirección es perpendicular a $\mathbf{u}$ y a $\mathbf{v}$ , y su sentido lo da la regla de la mano derecha: curva los dedos de la mano derecha desde $\mathbf{u}$ hacia $\mathbf{v}$ y el pulgar apuntará según $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ . Su longitud es $|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta$ , el área del paralelogramo que determinan los dos vectores.

Cómo usar la calculadora de producto vectorial

Introduce las tres componentes del primer vector separadas por comas, por ejemplo 1, 2, 3.
Introduce las tres componentes del segundo vector.
Pulsa Calcular.
Lee las componentes i, j y k y el vector resultante.
Usa el paso del módulo para las áreas y la comprobación de ortogonalidad para confirmar el resultado.

Fórmulas

Forma de determinante

\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

Módulo

|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta

Anticonmutatividad

\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})

Área del triángulo

A = \tfrac12\,|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|

Ejemplo resuelto: ⟨1,2,3⟩ × ⟨4,5,6⟩

El ejemplo multiplica vectorialmente $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ por $\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle$ . La componente $\mathbf{i}$ es $2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = -3$ ; la componente $\mathbf{j}$ es $-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = 6$ ; la componente $\mathbf{k}$ es $1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3$ .

Así, $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle$ , con módulo $\sqrt{54} = 3\sqrt6 \approx 7.348$ , el área del paralelogramo determinado por los dos vectores. Su producto escalar con cada vector dado es 0, lo que confirma que es perpendicular a ambos.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

Cómo hemos leído tu problema

Producto vectorial de dos vectores 3D.

\langle 1, 2, 3 \rangle \times \langle 4, 5, 6 \rangle

Solución paso a paso

Escribir el determinante con los vectores unitarios i, j, k en la primera fila
$u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$
Componente i
$(2)(6) - (3)(5) = -3$
Componente j (fíjate en el signo menos del desarrollo)
$-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6$
Componente k
$(1)(5) - (2)(4) = -3$
Módulo = área del paralelogramo determinado por u y v
$|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228$
Comprobar la ortogonalidad
$(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0$

Fórmulas utilizadas

Producto vectorial
$u \times v = \langle u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$
Módulo
$|u \times v| = |u||v|\sin\theta$

El resultado es perpendicular a u y a v; su módulo 3√6 ≈ 7.348469228 es el área del paralelogramo que determinan (el triángulo tiene la mitad de esa área).

Comprobación

El resultado es perpendicular a los dos vectores dados (ambos productos escalares valen 0).

Explicación detallada

El método del determinante

Escribir los vectores unitarios en la primera fila de un determinante $3 \times 3$ y desarrollar por esa fila es la forma más fácil de recordar la fórmula. Cada componente es un determinante $2 \times 2$ formado con las columnas que no corresponden a ese vector unitario. El término central lleva un signo menos que procede del patrón de adjuntos $+, -, +$ , y por eso la calculadora lo señala expresamente.

El producto vectorial es distributivo respecto de la suma, $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$ , y multiplicar cualquiera de los vectores por un escalar multiplica el resultado. Sin embargo, no es asociativo: $(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w}$ y $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ son en general vectores distintos. Para vectores planos como $\langle 1, 2, 0 \rangle$ y $\langle 3, 4, 0 \rangle$ , el resultado $\langle 0, 0, -2 \rangle$ apunta directamente hacia abajo por el eje $z$ , y su longitud 2 es el área del paralelogramo en el plano.

Significado geométrico

El módulo del producto vectorial es igual al área del paralelogramo de lados $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ , así que la mitad es el área del triángulo que forman. Para un triángulo de vértices $P$ , $Q$ y $R$ , multiplica vectorialmente $\overrightarrow{PQ}$ por $\overrightarrow{PR}$ y divide el módulo entre dos.

Si los vectores son paralelos, el paralelogramo se aplasta y el producto vectorial es el vector nulo. Para $\langle 1, 2, 3 \rangle$ y $\langle 2, 4, 6 \rangle$ , la calculadora devuelve $\langle 0, 0, 0 \rangle$ , lo que sirve como prueba rápida de paralelismo.

Normales, planos y física

El producto vectorial de dos vectores directores contenidos en un plano da un vector normal al plano, y con un punto del plano puedes escribir su ecuación $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ . En gráficos por ordenador, el mismo cálculo da las normales de las superficies para la iluminación.

En física, el momento de una fuerza es $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ y la fuerza magnética sobre una carga en movimiento es $q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ . En ambos casos, el resultado es perpendicular al plano de los dos vectores, como predice la regla de la mano derecha.

Errores frecuentes

Olvidar el signo menos de la componente $\mathbf{j}$ .
Suponer que $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}$ ; invertir el orden invierte el sentido.
Aplicar el producto vectorial a vectores bidimensionales sin añadirles antes una tercera componente nula.
Confundir el producto vectorial con el producto escalar, que da un número.
Olvidar dividir el módulo entre dos al calcular el área de un triángulo.

Consejos

Comprueba tu respuesta multiplicándola escalarmente por cada vector dado; ambos resultados deben ser 0.
Usa $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ , $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ y $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ como regla mnemotécnica.
Para vectores 2D, introduce 0 como tercera componente; la respuesta apuntará entonces según el eje $z$ .
Usa la calculadora de producto escalar para hallar el ángulo entre los vectores.
Usa la calculadora de determinantes para obtener el producto mixto $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ como un determinante $3 \times 3$ .
Dibuja los dos vectores y aplica la regla de la mano derecha para prever el signo de cada componente antes de calcular.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el producto vectorial?

Coloca i, j y k en la primera fila de un determinante de 3×3 y los dos vectores en las filas siguientes; después desarrolla por la primera fila. Recuerda el signo menos de la componente j.

¿Qué representa el módulo del producto vectorial?

El área del paralelogramo determinado por los dos vectores. La mitad es el área del triángulo que forman.

¿Es conmutativo el producto vectorial?

No. Cambiar el orden invierte el sentido: v × u = −(u × v).

¿Puedo calcular el producto vectorial de vectores 2D?

No directamente; el producto vectorial está definido para tres componentes. Añade 0 como tercera componente de cada vector y el resultado apuntará según el eje z.

¿Qué significa que el producto vectorial sea nulo?

Que los vectores son paralelos (o uno de ellos es el vector nulo), así que no determinan ninguna área.

¿Cómo compruebo un producto vectorial?

Calcula su producto escalar con cada vector original. Ambos resultados deben ser cero, porque el producto vectorial es perpendicular a los dos vectores dados. La calculadora hace esta comprobación por ti.

¿Cómo hallo un vector normal a un plano?

Toma dos vectores no paralelos contenidos en el plano y calcula su producto vectorial. El resultado es perpendicular al plano.

Prueba la calculadora de producto vectorial

Introduce dos vectores 3D y obtén su producto vectorial, su módulo y la comprobación de ortogonalidad, paso a paso.

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