El producto vectorial de dos vectores explicado

Qué da como resultado el producto vectorial

El producto escalar convierte dos vectores en un número. El producto vectorial, también llamado producto cruz, convierte dos vectores en un tercer vector. Solo está definido en tres dimensiones, y el resultado tiene dos rasgos que lo definen. Su dirección es perpendicular a los dos vectores originales, y su longitud es igual al área del paralelogramo que forman:

Aquí $\theta$ es el ángulo entre los vectores, de 0 a 180 grados. Como el seno de 0 y de 180 grados es cero, el producto vectorial de dos vectores paralelos es siempre nulo, y los vectores perpendiculares dan la mayor longitud posible para sus módulos.

La fórmula por componentes

Para $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ y $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$, las componentes son:

Esa fórmula cuesta memorizarla, así que la mayoría de la gente usa en su lugar un determinante simbólico. Coloca los vectores unitarios $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ y $\mathbf{k}$ en la primera fila, después las componentes de $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$, y desarrolla por la primera fila:

Termina siempre con las dos comprobaciones mediante el producto escalar. Llevan unos segundos y detectan casi todos los errores de signo, sobre todo en la componente central.

La regla de la mano derecha y el orden

Hay dos sentidos opuestos perpendiculares a ambos vectores, y la regla de la mano derecha elige uno. Apunta los dedos de la mano derecha a lo largo de $\mathbf{a}$, dóblalos hacia $\mathbf{b}$, y el pulgar señalará la dirección de $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$. Para los vectores unitarios canónicos esto da $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$, $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ y $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$.

Al invertir el orden, el pulgar apunta hacia el otro lado, así que el producto vectorial es anticonmutativo:

Tampoco es asociativo: $(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{j} = \mathbf{0}$, mientras que $\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) = \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$. Sí es distributivo respecto de la suma, y los escalares pueden sacarse fuera, de modo que $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$.

Áreas de paralelogramos y triángulos

Como su longitud es el área de un paralelogramo, el producto vectorial da áreas directamente a partir de coordenadas. Los vectores del ejemplo 1 determinan un paralelogramo de área $|(-3, 6, -3)| = \sqrt{54} \approx 7.35$, y el triángulo con esos dos lados tiene la mitad de esa área, unos 3.67.

Vectores normales y ecuaciones de planos

Un plano queda determinado por uno de sus puntos y un vector normal, perpendicular a él. Como el producto vectorial de dos vectores contenidos en un plano es perpendicular a ambos, es justamente un vector normal de ese tipo. En el ejemplo 2, el vector $(6, 3, 2)$ es normal al plano que pasa por $P$, $Q$ y $R$, así que el plano tiene la ecuación $6x + 3y + 2z = d$. Al sustituir $P(1, 0, 0)$ se obtiene $d = 6$.

El plano es $6x + 3y + 2z = 6$, y $Q$ y $R$ también lo cumplen: $3 \cdot 2 = 6$ y $2 \cdot 3 = 6$. La misma idea se usa continuamente en los gráficos 3D, donde cada triángulo de un modelo necesita un vector normal para decidir cómo se ilumina y qué cara mira a la cámara.

El momento de una fuerza y otras aplicaciones físicas

El momento de una fuerza, o par, que mide su efecto de giro, es un producto vectorial: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$, donde $\mathbf{r}$ va desde el punto de giro hasta el punto donde actúa la fuerza. Su módulo es $|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\sin\theta$.

El momento angular y la fuerza magnética sobre una carga en movimiento también son productos vectoriales, y en cada caso la regla de la mano derecha da la dirección del resultado.

El producto mixto y el volumen

Al combinar los dos productos se obtiene el producto mixto $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$, que es igual al determinante $3 \times 3$ cuyas filas son $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ y $\mathbf{c}$. Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo que determinan los tres vectores. Para $(1, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$ y $(0, 0, 3)$, el paralelepípedo es una caja rectangular corriente y el producto mixto vale $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Un producto mixto nulo significa que los tres vectores están en un mismo plano.

La calculadora de producto vectorial calcula productos vectoriales mostrando cada paso del determinante, e indica además áreas y el ángulo entre los vectores. Combínala con la calculadora de producto escalar para comprobar la perpendicularidad.

Distancia de un punto a una recta

La interpretación como área también resuelve un problema clásico de distancias. Toma una recta que pasa por un punto $A$ con vector director $\mathbf{u}$, y un punto $P$ exterior a la recta. El paralelogramo determinado por $\overrightarrow{AP}$ y $\mathbf{u}$ tiene área $|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{u}|$, y como su base mide $|\mathbf{u}|$, su altura, que es la distancia de $P$ a la recta, es el área dividida entre la base.

Por ejemplo, toma la recta que pasa por el origen con dirección $(1, 2, 2)$ y el punto $P(2, 1, 3)$. El producto vectorial $(2, 1, 3) \times (1, 2, 2) = (-4, -1, 3)$ tiene longitud $\sqrt{26}$, y el vector director tiene longitud 3, así que la distancia es $\frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1.70$. Puedes confirmarlo con una proyección: el punto está a $\sqrt{14}$ del origen y su proyección sobre la recta tiene longitud $\frac{10}{3}$, y el teorema de Pitágoras da la misma distancia.

Errores frecuentes y ejercicios

• Olvidar el signo menos de la componente central al desarrollar el determinante.
• Invertir el orden de los vectores, lo que cambia el sentido del resultado.
• Tomar la longitud del producto vectorial como el área del triángulo en lugar de su mitad.
• Intentar calcular el producto vectorial de vectores del plano sin añadirles antes una tercera componente nula.

Para practicar, comprueba que $(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)$, que es la regla $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$. Después confirma que $(1, 2, 3) \times (2, 4, 6)$ es el vector nulo, ya que el segundo vector es el doble del primero. Por último, calcula $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1)$; deberías obtener $(1, -1, 1)$, y las dos comprobaciones con el producto escalar deberían dar cero.

Por qué la fórmula da un vector perpendicular

Merece la pena ver por qué funciona la fórmula por componentes en lugar de limitarse a confiar en ella. Multiplica escalarmente el resultado por el propio $\mathbf{a}$: obtienes $a_1(a_2b_3 - a_3b_2) + a_2(a_3b_1 - a_1b_3) + a_3(a_1b_2 - a_2b_1)$. Al quitar los paréntesis, cada término aparece dos veces con signos opuestos, así que el total es exactamente cero. La misma cancelación ocurre al multiplicar por $\mathbf{b}$. En el lenguaje de los determinantes, multiplicar escalarmente por $\mathbf{a}$ sustituye la fila de vectores unitarios por $\mathbf{a}$, lo que produce un determinante con dos filas iguales, y un determinante así siempre vale cero. En cualquier caso, la perpendicularidad está integrada en la fórmula y no es una casualidad de unos ejemplos concretos.

Preguntas frecuentes