Introducción a las matrices: guía para principiantes

Qué es una matriz

Una matriz es una disposición rectangular de números, llamados elementos, ordenados en filas y columnas. Una matriz con $m$ filas y $n$ columnas tiene dimensión $m \times n$, que se lee «m por n», y siempre se indican primero las filas. El elemento de la fila $i$ y la columna $j$ de la matriz $A$ se escribe $a_{ij}$. Por ejemplo:

Una matriz con una sola columna es un vector columna, y una con una sola fila es un vector fila. Una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas; las matrices cuadradas son las que pueden tener determinante e inversa. Dos matrices son iguales solo cuando tienen la misma dimensión y coinciden todos sus elementos correspondientes.

Suma de matrices y producto por un escalar

Las matrices de la misma dimensión se suman elemento a elemento: el elemento de la fila $i$ y la columna $j$ de $A + B$ es $a_{ij} + b_{ij}$. La resta funciona igual. Las matrices de dimensiones distintas no se pueden sumar, porque no hay una forma razonable de emparejar sus elementos.

Multiplicar una matriz por un escalar, es decir, por un número corriente, multiplica cada elemento por ese número. Estas operaciones se comportan exactamente como la aritmética habitual: la suma es conmutativa y asociativa, y $k(A + B) = kA + kB$.

Multiplicación de matrices: fila por columna

La multiplicación de matrices no se hace elemento a elemento. Cada elemento del producto $AB$ es el producto escalar de una fila de $A$ por una columna de $B$:

Para ello, el número de columnas de $A$ debe ser igual al número de filas de $B$. Si $A$ es $m \times n$ y $B$ es $n \times p$, el producto es $m \times p$. Una forma rápida de comprobarlo es escribir las dimensiones una junto a otra: los números interiores deben coincidir y los exteriores dan la dimensión del resultado. Una matriz $2 \times 3$ por una matriz $3 \times 4$ da una matriz $2 \times 4$, pero una matriz $2 \times 3$ por otra matriz $2 \times 3$ no está definida.

El orden importa: AB no suele ser igual a BA

Si se invierte el orden en el ejemplo anterior, se obtiene $BA = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$, que es una matriz distinta. La multiplicación de matrices no es conmutativa. Con matrices no cuadradas puede ser aún peor: puede que un orden esté definido y el otro no, o que los dos productos tengan dimensiones distintas.

Otras reglas conocidas sí se mantienen. La multiplicación es asociativa, $(AB)C = A(BC)$, y distributiva respecto de la suma, $A(B + C) = AB + AC$. Aun así, conviene recordar dos advertencias. El producto de dos matrices no nulas puede ser la matriz nula, y de $AB = AC$ no se puede simplificar $A$ salvo que $A$ sea invertible. Por eso el álgebra con matrices requiere algo más de cuidado que el álgebra con números.

Al desarrollar expresiones como $(A + B)^2$, respeta el orden: el resultado es $A^2 + AB + BA + B^2$, no $A^2 + 2AB + B^2$.

La matriz identidad y la traspuesta

La matriz identidad $I$ es la matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Desempeña el papel que tiene el número 1 en la aritmética habitual: $AI = IA = A$ para cualquier matriz cuadrada $A$ de la dimensión adecuada. La matriz nula, con todos sus elementos iguales a cero, desempeña el papel del 0.

La traspuesta $A^T$ intercambia filas y columnas, de modo que el elemento de la fila $i$ y la columna $j$ de $A^T$ es $a_{ji}$. Una matriz $2 \times 3$ pasa a ser $3 \times 2$. Una regla útil es que al trasponer un producto se invierte el orden:

Una matriz igual a su propia traspuesta se llama simétrica. Las matrices simétricas aparecen continuamente en estadística y en física, y sus valores propios se comportan especialmente bien: siempre son números reales.

Matrices y sistemas de ecuaciones

Uno de los usos más importantes de las matrices es escribir un sistema de ecuaciones lineales de forma compacta. El sistema $2x + y = 5$ y $x - 3y = -1$ se convierte en:

Al multiplicar el miembro izquierdo se recuperan exactamente las dos ecuaciones, lo que es una buena forma de comprobar que la matriz está bien planteada. Su solución es $x = 2$, $y = 1$. Escribir así un sistema permite usar los mismos métodos, la reducción por filas o la matriz inversa, para resolver dos ecuaciones o dos mil. Nuestra guía para resolver sistemas de ecuaciones explica los métodos a mano, y la calculadora de sistemas de ecuaciones los resuelve paso a paso.

Dónde se usan las matrices

• Gráficos por ordenador: las rotaciones, los escalados y las proyecciones de los modelos 3D son multiplicaciones de matrices aplicadas a cada vértice.
• Ciencia de datos: un conjunto de datos es una matriz con una fila por observación y una columna por variable, y técnicas como el análisis de componentes principales trabajan directamente con ella.
• Redes: una matriz de adyacencia registra qué nodos están conectados, y sus potencias cuentan los caminos de una longitud dada.
• Economía e ingeniería: los modelos input-output y el análisis de circuitos conducen a grandes sistemas lineales.
• Aprendizaje automático: las capas de una red neuronal son, en su mayor parte, multiplicaciones de matrices.

La calculadora de matrices suma, multiplica y traspone matrices de cualquier dimensión compatible y muestra cada cálculo de fila por columna, lo que la hace útil para comprobar los deberes.

Potencias y matrices diagonales

Una matriz cuadrada puede multiplicarse por sí misma, así que potencias como $A^2 = AA$ y $A^3 = AAA$ tienen sentido. Las matrices no cuadradas no tienen potencias, porque las dimensiones no encajarían. Las potencias de una matriz aparecen siempre que un proceso se repite: si una matriz describe cómo se desplaza una población entre regiones en un año, su décima potencia describe el desplazamiento a lo largo de diez años.

Las matrices diagonales, cuyos únicos elementos no nulos están en la diagonal principal, son especialmente fáciles de manejar. Al multiplicar dos matrices diagonales simplemente se multiplican sus elementos diagonales, así que elevar una matriz diagonal a una potencia eleva cada elemento diagonal a esa potencia. Por ejemplo, el cuadrado de la matriz diagonal con elementos 2 y 3 es la matriz diagonal con elementos 4 y 9. Buena parte del álgebra lineal avanzada consiste en reescribir una matriz en forma diagonal para que cálculos como estos resulten sencillos.

Errores frecuentes con matrices

• Confundir filas y columnas al indicar la dimensión. Las filas van siempre primero.
• Multiplicar elemento a elemento en lugar de fila por columna.
• Suponer que $AB = BA$, o cambiar el orden de los factores al simplificar una expresión.
• Intentar sumar matrices de dimensiones distintas o multiplicar matrices cuyas dimensiones interiores no coinciden.
• Olvidar que la traspuesta de un producto invierte el orden de los factores.

Una comprobación rápida de las dimensiones antes de cualquier cálculo evita la mayoría de estos errores. Escribe la dimensión debajo de cada matriz, confirma que la operación está definida y prevé la dimensión del resultado antes de calcular un solo elemento.

Preguntas frecuentes