El álgebra lineal es la matemática de los vectores y las matrices. Estas guías explican las operaciones, su significado geométrico y cómo calcularlas a mano sin despistes.
Las matrices parecen tablas de números, pero cada una describe una transformación: un giro, un estiramiento, una proyección. Tener presente esa imagen explica por qué el producto de matrices no es conmutativo, por qué un determinante nulo significa que no hay inversa y qué es realmente un vector propio.
Cada guía de esta sección acompaña el cálculo de su significado. Verás las reglas como fórmulas, ejemplos resueltos de 2×2 y 3×3 con cada producto escrito y comprobaciones como multiplicar una matriz por su inversa para recuperar la identidad. Las calculadoras de matrices, determinantes, matrices inversas, valores propios, producto escalar y producto vectorial reproducen los mismos pasos.
El cálculo a mano sigue siendo importante aunque cualquier programa multiplique matrices al instante: en los exámenes se evalúa, y entender a mano un caso de 2×2 o de 3×3 es lo que te permite interpretar lo que devuelve un ordenador para uno de 100×100. Todos los ejemplos de esta sección son lo bastante pequeños como para terminarlos en papel.
Empieza por los conceptos básicos de matrices y sigue con los determinantes y las inversas; los vectores y los valores propios se apoyan en ambos.
Álgebra lineal
Una matriz es una tabla rectangular de números ordenados en filas y columnas. Las matrices almacenan datos de forma compacta y, sobre todo, representan transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones. Esta guía trata la notación y las operaciones fundamentales, con especial atención a la multiplicación de matrices.
Álgebra lineal
El determinante es un único número que se calcula a partir de una matriz cuadrada. Indica si la matriz es invertible, cómo escala áreas y volúmenes y si invierte la orientación. Esta guía muestra todos los métodos habituales para calcularlo, con ejemplos resueltos.
Álgebra lineal
La inversa de una matriz cuadrada deshace lo que hace la matriz, igual que dividir deshace multiplicar. Una matriz tiene inversa exactamente cuando su determinante no es nulo. Esta guía explica la fórmula rápida para matrices de 2 por 2, el método general de Gauss-Jordan y cómo las inversas resuelven sistemas de ecuaciones.
Álgebra lineal
Un vector propio de una matriz es una dirección que la matriz solo estira o invierte, sin girarla nunca, y el valor propio es el factor de estiramiento. Revelan el comportamiento esencial de una matriz y son la base de la diagonalización, el análisis de estabilidad, las cadenas de Markov y la compresión de datos.
Álgebra lineal
El producto escalar combina dos vectores en un único número que mide cuánto apuntan en la misma dirección. Es la herramienta para hallar ángulos entre vectores, comprobar si son perpendiculares, proyectar un vector sobre otro y calcular el trabajo en física.
Álgebra lineal
El producto vectorial multiplica dos vectores en el espacio tridimensional y devuelve un nuevo vector perpendicular a ambos. Su longitud es igual al área del paralelogramo que determinan los dos vectores, lo que lo convierte en la herramienta habitual para vectores normales, áreas, momentos de fuerzas y volúmenes.