El producto escalar explicado

La fórmula por componentes

El producto escalar, también llamado producto punto o producto interno, toma dos vectores con el mismo número de componentes y devuelve un único número, no un vector. Para calcularlo, multiplica las componentes correspondientes y suma los resultados:

La fórmula funciona en cualquier número de dimensiones, y por eso el producto escalar es tan habitual en ciencia de datos, donde los vectores pueden tener miles de componentes. También es la pieza básica de la multiplicación de matrices: cada elemento de un producto de matrices es el producto escalar de una fila por una columna.

La fórmula geométrica y el ángulo entre vectores

El producto escalar tiene una segunda descripción, geométrica. Si $\theta$ es el ángulo que forman los dos vectores cuando se dibujan desde el mismo punto, entonces:

Aquí $|\mathbf{a}|$ es la longitud, o módulo, de $\mathbf{a}$. Las dos fórmulas coinciden siempre, algo que se deduce del teorema del coseno aplicado al triángulo formado por $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ y $\mathbf{a} - \mathbf{b}$. Al combinarlas se obtiene una forma práctica de hallar el ángulo entre dos vectores cualesquiera:

Qué indica el signo

Como las longitudes son positivas, el signo del producto escalar coincide con el signo de $\cos\theta$. Eso permite interpretar rápidamente el ángulo sin calcularlo:

• Positivo: el ángulo es agudo, menor de 90 grados, y los vectores apuntan más o menos en el mismo sentido.
• Cero: los vectores son perpendiculares, también llamados ortogonales.
• Negativo: el ángulo es obtuso, mayor de 90 grados, y los vectores apuntan más o menos en sentidos opuestos.

El caso del cero es el más útil. Por ejemplo, $(3, 4) \cdot (4, -3) = 12 - 12 = 0$, así que estos vectores son perpendiculares. En dos dimensiones, intercambiar las componentes de un vector y cambiar el signo de una de ellas produce siempre un vector perpendicular, un truco práctico para hallar vectores normales a rectas.

Longitudes y vectores unitarios

El producto escalar de un vector por sí mismo da el cuadrado de su longitud, porque el ángulo es cero y $\cos 0 = 1$:

Así, la longitud de $(2, -1, 3)$ es $\sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742$. Al dividir un vector entre su longitud se obtiene un vector unitario, que tiene longitud 1 y apunta en la misma dirección. Los vectores unitarios son cómodos porque el producto escalar de dos de ellos es simplemente el coseno del ángulo que forman.

Proyectar un vector sobre otro

La proyección de $\mathbf{a}$ sobre $\mathbf{b}$ es la sombra que $\mathbf{a}$ proyecta sobre la recta que contiene a $\mathbf{b}$ cuando la luz incide perpendicularmente a esa recta. El producto escalar la da directamente:

El número $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$, que aquí vale unos 4.427, es la proyección escalar de $\mathbf{a}$ sobre $\mathbf{b}$: la longitud con signo de la sombra. Las proyecciones descomponen un vector en una parte a lo largo de una dirección y otra perpendicular a ella, un paso que se usa en todas partes, desde la física hasta el método de mínimos cuadrados en estadística.

El trabajo realizado por una fuerza

En física, solo la parte de una fuerza que actúa en la dirección del movimiento realiza trabajo. Por tanto, el trabajo realizado por una fuerza constante $\mathbf{F}$ al desplazar un objeto según un desplazamiento $\mathbf{d}$ es un producto escalar: $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$.

Propiedades y aplicaciones

• Conmutativa: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$.
• Distributiva: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$.
• Los escalares salen fuera: $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$.
• Desigualdad de Cauchy-Schwarz: $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$, que garantiza que la fórmula del coseno siempre da un valor entre $-1$ y 1.

Más allá de la geometría, el producto escalar está detrás de la similitud coseno, que los buscadores y los sistemas de recomendación usan para medir cuánto se parecen dos documentos o dos usuarios; de la iluminación en los gráficos 3D, donde el brillo depende del producto escalar del vector normal a la superficie por la dirección de la luz; y de las redes neuronales, cuyas neuronas calculan productos escalares de las entradas por los pesos. La calculadora de producto escalar calcula el producto, el ángulo y las proyecciones paso a paso, y la calculadora de producto vectorial se ocupa de la otra forma de multiplicar vectores, que se explica en nuestra guía del producto vectorial.

Un problema clásico de geometría

El producto escalar resuelve algunos problemas de geometría con una rapidez sorprendente. ¿Qué ángulo forma la diagonal principal de un cubo con una de sus aristas? Coloca el cubo con un vértice en el origen y aristas de longitud 1 sobre los ejes. La diagonal va del origen a $(1, 1, 1)$, y una arista va hasta $(1, 0, 0)$.

Su producto escalar es 1, la diagonal mide $\sqrt{3}$ y la arista mide 1, así que $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ y $\theta \approx 54.7^\circ$. Hacerlo con geometría clásica exige construir un triángulo rectángulo dentro del cubo y razonar con cuidado sobre sus lados; con vectores basta con tres líneas. El mismo enfoque permite hallar el ángulo entre dos rectas, dos planos o dos enlaces químicos cualesquiera en cuanto se pueden describir sus direcciones con vectores.

Errores frecuentes

• Escribir el resultado como un vector, por ejemplo $(8, 0, -6)$, en lugar de la suma 2.
• Olvidar las raíces cuadradas al calcular las longitudes para la fórmula del ángulo.
• Dividir entre $|\mathbf{b}|$ en lugar de entre $|\mathbf{b}|^2$ en la fórmula de la proyección vectorial.
• Mezclar grados y radianes al evaluar $\cos\theta$ o su inversa en la calculadora.
• Concluir que dos vectores son perpendiculares cuando uno de ellos es en realidad el vector nulo.

Una buena comprobación de sentido común es el signo. Si en tu dibujo dos vectores apuntan claramente en direcciones parecidas, el producto escalar tiene que ser positivo; si tu cálculo da un número negativo, busca un error de signo en alguna componente.

Ejercicios

Resuélvelos y compara después con las soluciones que siguen. Primero, calcula $(1, 3, -2) \cdot (4, -1, 5)$; los productos son 4, $-3$ y $-10$, así que el resultado es $-9$, y el valor negativo indica que el ángulo es obtuso. Segundo, halla $k$ para que $(2, k)$ sea perpendicular a $(3, -6)$: al plantear $6 - 6k = 0$ se obtiene $k = 1$. Tercero, halla el ángulo entre $(1, 0)$ y $(1, 1)$: el producto escalar es 1 y las longitudes son 1 y $\sqrt{2}$, así que el ángulo es de 45 grados, como confirma un dibujo rápido.

Un poco de historia

La notación vectorial es más reciente que casi todas las matemáticas escolares. En la década de 1840, William Rowan Hamilton inventó los cuaterniones, números con una parte real y tres imaginarias, y el producto de dos de sus cuaterniones puros contenía a la vez una parte escalar y una parte vectorial. En la década de 1880, Josiah Willard Gibbs y Oliver Heaviside separaron esas dos piezas en el producto escalar y el producto vectorial, y dieron a los físicos el álgebra vectorial más sencilla que todavía se enseña hoy. Gibbs eligió como símbolo el punto centrado, y de ahí viene el nombre de producto punto con el que también se conoce esta operación.

Preguntas frecuentes