Valores propios y vectores propios explicados con ejemplos

La ecuación que los define

La mayoría de los vectores cambian de dirección al multiplicarlos por una matriz. Unos pocos vectores especiales no: la matriz simplemente los estira, los encoge o los invierte sobre la misma recta. Son los vectores propios, y el factor por el que se escala cada uno es su valor propio. En símbolos, un vector no nulo $\mathbf{v}$ es un vector propio de la matriz cuadrada $A$ con valor propio $\lambda$ cuando:

Se excluye el vector nulo porque cumpliría la ecuación para cualquier $\lambda$. Los valores propios, en cambio, pueden ser cero, negativos o incluso complejos. Un valor propio igual a 2 significa que los vectores de esa dirección duplican su longitud, $-1$ significa que se invierten y 0 significa que quedan aplastados en nada, lo que ocurre exactamente cuando la matriz es singular.

Cálculo de los valores propios con la ecuación característica

Reescribe la ecuación como $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Para que exista una solución no nula, la matriz $A - \lambda I$ tiene que ser singular, así que su determinante debe ser cero. Así se obtiene la ecuación característica:

Para una matriz $n \times n$, es una ecuación polinómica de grado $n$ en $\lambda$, así que hay $n$ valores propios si se cuentan con su multiplicidad y se admiten valores complejos. Para una matriz $2 \times 2$ el polinomio es de segundo grado, y puedes resolverlo con los métodos de cómo resolver ecuaciones de segundo grado.

Un ejemplo completo de 2 por 2

Cualquier múltiplo no nulo de un vector propio también es un vector propio, así que $(3, 3)$ o $(-2, 4)$ serían respuestas igual de correctas. Lo que importa es la dirección, no la longitud. Observa también que las dos filas de $A - \lambda I$ eran proporcionales en ambos casos. Eso está garantizado cuando $\lambda$ es realmente un valor propio, y es una comprobación muy útil de tus cuentas.

Dos atajos: la traza y el determinante

Los valores propios de cualquier matriz cuadrada están ligados a dos números fáciles de obtener. Su suma es igual a la traza, la suma de los elementos de la diagonal, y su producto es igual al determinante:

En el ejemplo 1, la traza es $4 + 3 = 7 = 5 + 2$ y el determinante es $12 - 2 = 10 = 5 \cdot 2$. Para una matriz $2 \times 2$, esto significa que la ecuación característica es siempre $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$, lo que ahorra desarrollar el determinante a mano. Las matrices triangulares son aún más fáciles: sus valores propios son simplemente los elementos de la diagonal.

Valores propios complejos y repetidos

La matriz de giro $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ gira cada vector 90 grados, así que ninguna dirección real permanece sobre su propia recta. Su ecuación característica es $\lambda^2 + 1 = 0$, que da los valores propios complejos $\lambda = \pm i$. Los valores propios complejos de una matriz real aparecen siempre en pares conjugados e indican un giro.

Los valores propios también pueden repetirse. La matriz $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ tiene el valor propio doble 2, pero $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ obliga a que $y = 0$, así que los únicos vectores propios son los múltiplos de $(1, 0)$. Una matriz así, con menos vectores propios independientes que su tamaño, se llama defectiva y no es diagonalizable. La matriz identidad, en cambio, también tiene el valor propio repetido 1, pero todo vector no nulo es un vector propio.

Las matrices simétricas evitan ambas complicaciones. Sus valores propios son siempre reales, y los vectores propios de valores propios distintos son perpendiculares. Para $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, los valores propios son 3 y 1, con vectores propios $(1, 1)$ y $(1, -1)$, cuyo producto escalar es cero.

Diagonalización y potencias de una matriz

Cuando una matriz $n \times n$ tiene $n$ vectores propios independientes, se puede diagonalizar. Coloca los vectores propios en las columnas de $P$ y los valores propios en la diagonal de $D$; entonces:

Elevar una matriz diagonal a una potencia solo requiere elevar cada elemento de la diagonal a esa potencia, así que calcular $A^{100}$ se vuelve sencillo. Los valores propios también predicen el comportamiento a largo plazo: cuando un valor propio es mayor en valor absoluto que todos los demás, multiplicar repetidamente por $A$ lleva casi cualquier vector inicial hacia el vector propio de ese valor propio.

Dónde importan los valores propios

• Buscadores: el algoritmo PageRank original clasifica las páginas web mediante el vector propio dominante de una matriz de enlaces.
• Ingeniería: las frecuencias naturales de vibración de puentes y edificios se obtienen de valores propios, que los diseñadores mantienen alejados de las frecuencias de excitación previstas.
• Ciencia de datos: el análisis de componentes principales usa los vectores propios de una matriz de covarianzas para encontrar las direcciones de mayor variación.
• Ecuaciones diferenciales: los signos de los valores propios deciden si un equilibrio es estable o inestable.
• Mecánica cuántica: las magnitudes medibles, como los niveles de energía, son valores propios de operadores.

La calculadora de valores propios halla los valores y vectores propios, incluidos los complejos, y muestra el polinomio característico paso a paso. La calculadora de determinantes es útil para comprobar $\det(A - \lambda I)$ en un valor candidato.

Un ejemplo de 3 por 3

Las matrices más grandes siguen la misma receta, y los ceros ayudan igual que con los determinantes. Toma la matriz de filas $(2, 0, 0)$, $(0, 3, 4)$ y $(0, 4, 9)$. Al desarrollar $\det(A - \lambda I)$ por la primera fila se obtiene $(2 - \lambda)$ multiplicado por el polinomio característico del bloque menor de filas $(3, 4)$ y $(4, 9)$. Ese bloque tiene traza 12 y determinante $27 - 16 = 11$, así que su polinomio es $\lambda^2 - 12\lambda + 11 = (\lambda - 1)(\lambda - 11)$.

Por tanto, los valores propios son 2, 1 y 11. Como comprobación, suman 14, la traza de la matriz completa, y su producto es 22, su determinante. Los vectores propios son $(1, 0, 0)$ para 2, $(0, -2, 1)$ para 1 y $(0, 1, 2)$ para 11. La matriz es simétrica y, tal como se anunciaba, estos tres vectores son perpendiculares entre sí.

Errores frecuentes

• Restar $\lambda$ a todos los elementos en lugar de solo a los de la diagonal.
• Aceptar el vector nulo como vector propio tras resolver $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$.
• Suponer que un valor propio repetido siempre tiene dos vectores propios independientes.
• Olvidar comprobar el resultado calculando $A\mathbf{v}$ y comparándolo con $\lambda\mathbf{v}$.

La comprobación final es el hábito más valioso de todos. Requiere una sola multiplicación de matrices, y si $A\mathbf{v}$ no es un múltiplo de $\mathbf{v}$, o el valor propio o el vector propio están mal.

Una imagen geométrica

Imagina que aplicas la matriz del ejemplo 1 a cada punto de una hoja de papel cuadriculado. La mayoría de las flechas trazadas desde el origen se estiran y además giran. Sin embargo, las flechas sobre la recta que pasa por $(1, 1)$ simplemente se hacen cinco veces más largas, y las flechas sobre la recta que pasa por $(1, -2)$ duplican su longitud, sin salirse de sus rectas. Los vectores propios son el esqueleto de la transformación: en cuanto sabes qué ocurre a lo largo de esas dos rectas, sabes qué ocurre en todas partes, porque cualquier vector puede descomponerse en partes a lo largo de ellas.

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