Calculadora de valores y vectores propios (autovalores) con pasos

Sobre la calculadora de valores propios

Los valores propios y los vectores propios describen las direcciones que una matriz deja invariantes y cuánto las estira. Están detrás del algoritmo PageRank original de Google, de los modos de vibración de puentes y moléculas, del análisis de componentes principales en estadística, de la estabilidad de las ecuaciones diferenciales y de los niveles de energía en mecánica cuántica. En un curso de álgebra lineal suelen ser el tema en el que todo lo aprendido hasta entonces —determinantes, reducción por filas y núcleos— se junta.

Esta calculadora sigue el método de los libros de texto. Forma el polinomio característico $\det(\lambda I - A)$ , halla sus raíces de forma exacta con el teorema de las raíces racionales, la fórmula cuadrática y la división de polinomios, y después resuelve $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ para cada valor propio, de modo que obtiene vectores propios con componentes enteras sencillas siempre que es posible.

Los valores propios irracionales se mantienen en forma exacta con radicales, los complejos se presentan como pares conjugados y los repetidos vienen con su multiplicidad algebraica y su multiplicidad geométrica, para que veas de un vistazo si la matriz es diagonalizable. Se admiten matrices de 2×2 a 4×4, lo que cubre prácticamente todos los problemas de deberes y exámenes.

¿Qué son los valores propios y los vectores propios?

Un vector no nulo $\mathbf v$ es un vector propio de una matriz cuadrada $A$ si multiplicarlo por $A$ solo lo escala: $A\mathbf v = \lambda \mathbf v$ para algún número $\lambda$ . Ese número es el valor propio asociado a $\mathbf v$ . La mayoría de los vectores cambian de dirección al multiplicarlos por una matriz; los vectores propios son los especiales que permanecen en su propia recta por el origen.

Escribir la definición como $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ muestra cómo encontrarlos. Solo existe una solución no nula cuando $A - \lambda I$ es singular, es decir, cuando su determinante es cero. La ecuación $\det(A - \lambda I) = 0$ se llama ecuación característica; para una matriz $n \times n$ es un polinomio de grado $n$ , así que hay exactamente $n$ valores propios contados con su multiplicidad, y algunos pueden ser complejos.

Cada valor propio tiene infinitos vectores propios, porque cualquier múltiplo no nulo de un vector propio es otro vector propio. Por eso las respuestas se dan como un vector representativo, o como una base cuando hay varias direcciones independientes, y tu libro puede mostrar un múltiplo distinto del mismo vector.

Cómo usar la calculadora de valores propios

Escribe la matriz con una fila por línea y los elementos separados por espacios, por ejemplo 4 1 en la primera línea y 2 3 en la segunda.
También puedes poner toda la matriz en una línea con punto y coma entre las filas, como 4 1; 2 3.
Los elementos pueden ser enteros, decimales, fracciones o números negativos. La matriz debe ser cuadrada, de 2×2 a 4×4.
Pulsa Calcular los valores propios para ver el polinomio característico, sus raíces y el cálculo de los vectores propios de cada valor propio.
Revisa las multiplicidades indicadas para los valores propios repetidos si necesitas saber si la matriz es diagonalizable.

Fórmulas

Ecuación de valores propios

A\mathbf v = \lambda \mathbf v,\quad \mathbf v \ne \mathbf 0

Ecuación característica

\det(\lambda I - A) = 0

Atajo para 2×2

\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\,\lambda + \det A = 0

Traza y determinante

\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr} A,\quad \lambda_1 \cdots \lambda_n = \det A

Diagonalización

A = PDP^{-1},\quad D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

Ejemplo resuelto: 2×2, racionales

El ejemplo resuelto se calcula en directo para $A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$ . La traza es 7 y el determinante es $4\cdot3 - 1\cdot2 = 10$ , así que el polinomio característico es $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2)$ y los valores propios son 5 y 2.

Para $\lambda = 5$ , la matriz $A - 5I$ tiene filas $(-1, 1)$ y $(2, -2)$ , cuyo núcleo está generado por $\langle 1, 1 \rangle$ . Para $\lambda = 2$ , $A - 2I$ tiene filas $(2, 1)$ y $(2, 1)$ , lo que da $\langle -1, 2 \rangle$ . Comprobar uno es rápido: $A\langle 1, 1\rangle = \langle 5, 5\rangle$ , exactamente cinco veces el vector.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

\lambda = 5,\ 2

Cómo hemos leído tu problema

Calcular los valores propios y los vectores propios de una matriz de 2×2.

\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

Solución paso a paso

Plantear la ecuación característica
$\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$
Para una matriz de 2×2 es λ² − (traza)λ + det
$\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0$
Polinomio característico
$p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10$
Raíces racionales halladas con el teorema de las raíces racionales
$\lambda = 2,\ \lambda = 5$
Vectores propios para λ = 5: resolver (A − λI)v = 0
$\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1 \rangle$
Vectores propios para λ = 2: resolver (A − λI)v = 0
$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 2 \rangle$

Fórmulas utilizadas

Ecuación característica
$\det(\lambda I - A) = 0$
Ecuación de los vectores propios
$(A - \lambda I)\,v = 0,\ v \neq 0$

Los valores propios son las raíces del polinomio característico. Vectores propios: λ = 5: ⟨1, 1⟩; λ = 2: ⟨-1, 2⟩.

Comprobación

La suma de los valores propios ≈ 7 coincide con la traza 7.
El producto de los valores propios coincide con el determinante 10.

Explicación detallada

Paso 1: el polinomio característico

Para una matriz de 2×2, el polinomio se puede escribir directamente como $\lambda^2 - (\text{traza})\lambda + \det$ . Para matrices mayores, la calculadora desarrolla $\det(\lambda I - A)$ por adjuntos. La matriz simétrica de 3×3 con filas $(2, 0, 0)$ , $(0, 3, 4)$ y $(0, 4, 9)$ da $\lambda^3 - 14\lambda^2 + 35\lambda - 22$ .

Dos comprobaciones rápidas detectan la mayoría de los errores de cálculo. El coeficiente de $\lambda^{n-1}$ es la traza cambiada de signo, aquí $-(2 + 3 + 9) = -14$ , y el término independiente es $(-1)^n \det A$ , aquí $-22$ porque el determinante es 22.

Paso 2: hallar las raíces

Con elementos enteros, cualquier valor propio racional debe dividir al término independiente, así que la calculadora prueba los divisores de 22 y encuentra $\lambda = 1$ ; después divide el polinomio entre $(\lambda - 1)$ y factoriza el polinomio de segundo grado que queda. Los valores propios son 11, 2 y 1, y su suma, 14, coincide con la traza, como debe ser.

Cuando el factor cuadrático restante no se puede factorizar en los racionales, la fórmula cuadrática da radicales exactos. Para $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ , el polinomio $\lambda^2 - 5\lambda - 2$ tiene raíces $\frac52 \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$ , aproximadamente 5.372 y $-0.372$ . Si el discriminante es negativo, las raíces son complejas conjugadas; la matriz de giro $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ tiene $\lambda^2 + 1 = 0$ , así que $\lambda = \pm i$ , lo que refleja que un giro de 90° no deja invariante ninguna dirección real.

Paso 3: vectores propios a partir del núcleo

Para cada valor propio, sustitúyelo en $A - \lambda I$ y resuelve el sistema homogéneo por reducción por filas. Como la matriz es singular, al menos una fila se reduce a ceros y queda una variable libre. Dando a la variable libre un valor cómodo y sustituyendo hacia atrás se obtiene el vector propio, que la calculadora escala a enteros pequeños.

Para $\lambda = 11$ en el ejemplo de 3×3, $A - 11I$ tiene filas $(-9, 0, 0)$ , $(0, -8, 4)$ y $(0, 4, -2)$ . La primera fila obliga a que $v_1 = 0$ y las otras dos dicen que $v_3 = 2v_2$ , así que $\mathbf v = \langle 0, 1, 2 \rangle$ . Las matrices simétricas como esta tienen siempre valores propios reales y vectores propios perpendiculares entre sí, algo que puedes confirmar con el producto escalar.

Valores propios repetidos y diagonalización

Un valor propio que aparece $k$ veces como raíz tiene multiplicidad algebraica $k$ . El número de vectores propios independientes que tiene es su multiplicidad geométrica, que puede ser menor. Tanto $\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ como $2I$ tienen el valor propio doble 2, pero la primera solo tiene una dirección propia, $\langle 1, 0 \rangle$ , mientras que la segunda tiene dos, $\langle 1, 0 \rangle$ y $\langle 0, 1 \rangle$ .

Una matriz se puede escribir como $PDP^{-1}$ , con los valores propios en la diagonal de $D$ y los vectores propios como columnas de $P$ , exactamente cuando la multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidad algebraica. La diagonalización facilita el cálculo de potencias, ya que $A^k = PD^kP^{-1}$ , y así es como los valores propios predicen el comportamiento a largo plazo en modelos de poblaciones y cadenas de Markov.

Atajos que conviene conocer

Los valores propios de una matriz triangular son los elementos de su diagonal, así que la matriz con filas $(1, 2, 3)$ , $(0, 4, 5)$ y $(0, 0, 6)$ tiene valores propios 6, 4 y 1 sin hacer ningún cálculo. Una matriz es invertible exactamente cuando 0 no es valor propio, y los valores propios de $A^{-1}$ son los inversos de los de $A$ , con los mismos vectores propios.

Los cambios sencillos en una matriz mueven sus valores propios de forma predecible. Sumar $c$ veces la identidad suma $c$ a cada valor propio, multiplicar la matriz por un escalar multiplica cada valor propio por ese escalar y elevarla a la potencia $k$ eleva cada valor propio a la potencia $k$ , todo ello sin cambiar los vectores propios. Una matriz y su traspuesta tienen los mismos valores propios, aunque normalmente no los mismos vectores propios. Estos hechos te permiten comprobar respuestas y prever resultados antes de calcular nada.

Errores frecuentes

Calcular $\det(A) - \lambda$ en lugar de $\det(A - \lambda I)$ ; hay que restar $\lambda$ a cada elemento de la diagonal.
Aceptar el vector nulo como vector propio; por definición, los vectores propios no son nulos.
Cometer un error de cálculo en el polinomio y encontrar después un núcleo que solo contiene el vector nulo.
Suponer que toda matriz tiene valores propios reales; los giros y muchas matrices no simétricas los tienen complejos.
Pensar que un vector propio está mal porque difiere del del libro en un múltiplo constante.
Concluir que una matriz es diagonalizable sin comprobar la multiplicidad geométrica de los valores propios repetidos.

Consejos

Comprueba que los valores propios suman la traza y que su producto es el determinante.
Verifica cada vector propio calculando $A\mathbf v$ y comparándolo con $\lambda\mathbf v$ .
Lee los valores propios directamente en la diagonal de las matrices triangulares.
En matrices de 3×3, desarrolla el determinante por la fila o la columna con más ceros.
Usa la calculadora de determinantes para confirmar que $A - \lambda I$ es singular para cada valor propio.
Espera valores propios reales y vectores propios perpendiculares siempre que la matriz sea simétrica.
Saca primero factor común de la matriz; los valores propios simplemente quedan multiplicados por ese factor.

Preguntas frecuentes

¿Cómo introduzco una matriz en la calculadora de valores propios?

Escribe una fila por línea con espacios entre los elementos, o pon todas las filas en una línea separadas por punto y coma, como 4 1; 2 3. Se admiten fracciones, decimales y números negativos.

¿Qué tamaños de matriz se admiten?

Matrices cuadradas de 2×2 a 4×4. Los valores propios solo están definidos para matrices cuadradas, así que una matriz de 3×2, por ejemplo, se rechaza con una explicación.

¿Puede la calculadora hallar valores propios complejos?

Sí. Cuando el polinomio característico tiene discriminante negativo, los valores propios se presentan como un par de complejos conjugados, como λ = i y −i para una matriz de giro de 90°.

¿Por qué mi vector propio es distinto del de mi libro?

Cualquier múltiplo no nulo de un vector propio también es un vector propio. ⟨1, 1⟩ y ⟨3, 3⟩ describen la misma dirección. Comprueba que un vector es múltiplo del otro.

¿Qué significan la multiplicidad algebraica y la geométrica?

La multiplicidad algebraica es cuántas veces se repite un valor propio como raíz del polinomio característico. La multiplicidad geométrica es cuántos vectores propios independientes tiene. La calculadora indica ambas para los valores propios repetidos.

¿La calculadora da valores propios exactos o decimales?

Exactos siempre que es posible: enteros, fracciones y radicales como 5/2 ± √33/2. Solo recurre a valores decimales precisos cuando las raíces de un polinomio de tercer o cuarto grado no se pueden hallar de forma exacta.

¿Qué relación hay entre los valores propios, el determinante y la traza?

El producto de todos los valores propios es igual al determinante y su suma es igual a la traza. Para la matriz con filas (4, 1) y (2, 3), 5 × 2 = 10 es el determinante y 5 + 2 = 7 es la traza.

¿Qué significa que un valor propio sea cero?

Que la matriz es singular: no tiene inversa y su determinante es cero. Los vectores propios de λ = 0 generan el núcleo de la matriz.

¿Dónde se usan los valores propios fuera del aula?

En el análisis de vibraciones, la estabilidad de los sistemas de control, el análisis de componentes principales, la mecánica cuántica, las cadenas de Markov y la clasificación de los buscadores, siempre que haga falta entender la aplicación repetida de una transformación lineal.

Prueba la calculadora de valores propios

Introduce una matriz cuadrada y obtén sus valores propios y vectores propios exactos, con el polinomio característico y cada paso.

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Calculadora de valores propios