Cómo calcular la inversa de una matriz

Qué es la inversa

Con números, el inverso de 5 es $\frac{1}{5}$ porque $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$. Las matrices no tienen división, pero sí la misma idea. La inversa de una matriz cuadrada $A$ es la matriz $A^{-1}$ que cumple:

Aquí $I$ es la matriz identidad, la versión matricial del 1. Si $A$ describe una transformación, como girar y estirar el plano, entonces $A^{-1}$ es la transformación que devuelve todo a su posición inicial. Solo las matrices cuadradas pueden tener inversa, y ni siquiera todas la tienen. Una matriz con inversa se llama invertible o regular; una sin inversa se llama singular.

La prueba es el determinante: $A$ es invertible exactamente cuando $\det(A) \ne 0$. Un determinante nulo significa que la matriz aplasta el espacio en una dimensión menor, de modo que entradas distintas acaban en la misma salida y no hay forma de deshacer la transformación.

La fórmula para matrices de 2 por 2

Para una matriz $2 \times 2$ hay una fórmula breve: intercambia los elementos de la diagonal principal, cambia el signo de los otros dos y divide entre el determinante.

En cambio, $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ tiene determinante $4 - 4 = 0$. Su primera fila es el doble de la segunda, así que no tiene inversa, y la fórmula te obligaría a dividir entre cero.

Eliminación de Gauss-Jordan para cualquier tamaño

Para matrices $3 \times 3$ y mayores, el método habitual es la eliminación de Gauss-Jordan. Escribe $A$ y la identidad una junto a otra en una matriz ampliada $[A \mid I]$. Usa operaciones elementales de fila para convertir la mitad izquierda en $I$. Las mismas operaciones convierten la mitad derecha en $A^{-1}$. Si aparece una fila de ceros a la izquierda, la matriz es singular y no tiene inversa.

Esta matriz tiene casualmente determinante 1, y por eso su inversa solo contiene números enteros. La mayoría de las inversas tienen fracciones, así que mantén los elementos como fracciones, y no como decimales redondeados, mientras trabajas.

La fórmula de la matriz adjunta

También hay una fórmula que generaliza la regla de $2 \times 2$. Sustituye cada elemento por su cofactor, el determinante con signo del menor que queda al eliminar la fila y la columna de ese elemento, y después traspón el resultado para obtener la matriz adjunta, que se escribe $\operatorname{adj}(A)$:

La fórmula de la adjunta es útil en teoría y para matrices $3 \times 3$ con elementos sencillos, pero para una matriz $3 \times 3$ requiere nueve determinantes $2 \times 2$ y crece muy deprisa con el tamaño. Para cualquier matriz mayor, la eliminación de Gauss-Jordan es la opción práctica.

Resolver sistemas con la inversa

Un sistema lineal escrito como $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ se puede resolver multiplicando ambos miembros por la izquierda por $A^{-1}$, lo que da $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$. Es el equivalente de resolver $5x = 10$ dividiendo entre 5.

El método resulta especialmente cómodo cuando hay que resolver varios sistemas con los mismos coeficientes pero distintos términos independientes, porque la inversa se calcula una sola vez. Para un único sistema, la eliminación suele ser más rápida, como se explica en resolver sistemas de ecuaciones.

Propiedades de las inversas

• La inversa de un producto invierte el orden, igual que al quitarte los calcetines y los zapatos lo haces en el orden contrario al que te los pusiste.
• Si $A$ es invertible, su inversa es única.
• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.
• Para un número $k$ no nulo, $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$.
• Una matriz diagonal con elementos diagonales no nulos se invierte tomando el inverso de cada elemento de la diagonal.

Las inversas en la práctica

Las matrices inversas son esenciales en teoría y aparecen en los gráficos por ordenador, donde deshacer una transformación de la cámara significa aplicar su inversa; en criptografía, donde el cifrado de Hill descifra mensajes con una matriz inversa; y en estadística, donde la fórmula de mínimos cuadrados para la regresión contiene una inversa.

Sin embargo, los programas numéricos rara vez calculan una inversa de forma explícita solo para resolver un sistema. Los métodos basados en la eliminación son más rápidos y menos sensibles a los errores de redondeo, sobre todo con matrices casi singulares, cuyo determinante está cerca de cero. La calculadora de matrices inversas muestra cada paso de Gauss-Jordan con fracciones exactas, y la calculadora de matrices te permite comprobar que $AA^{-1}$ es realmente la identidad.

Por qué funciona la fórmula de 2 por 2

La fórmula es fácil de verificar, y entender por qué funciona ayuda a recordarla. Multiplica la matriz original por la matriz con la diagonal intercambiada y los otros elementos cambiados de signo:

El resultado es el determinante multiplicado por la identidad. Al dividir entre el determinante queda exactamente la identidad, que es lo que debe producir una inversa. El cálculo también muestra por qué un determinante nulo es fatal: el producto es entonces la matriz nula, y ningún escalado puede convertirla en la identidad.

Errores frecuentes al invertir

• Cambiar de signo los elementos de la diagonal en lugar de intercambiarlos en la fórmula de $2 \times 2$.
• Olvidar dividir entre el determinante al final.
• Aplicar una operación de fila a la mitad izquierda de $[A \mid I]$ pero no a la derecha.
• Multiplicar $\mathbf{b}$ por el lado equivocado: la solución es $A^{-1}\mathbf{b}$, y $\mathbf{b}A^{-1}$ normalmente ni siquiera está definido.
• Redondear las fracciones a decimales demasiado pronto, de modo que la comprobación final ya no da exactamente la identidad.

Todos estos errores se detectan con el mismo hábito: multiplica tu resultado por la matriz original antes de seguir. La comprobación lleva un minuto y es mucho más rápida que rehacer todo el cálculo más tarde.

Ejercicios

Inténtalos antes de mirar las soluciones. Primero, invierte la matriz de filas $(2, 1)$ y $(5, 3)$. Su determinante es $6 - 5 = 1$, así que la inversa es simplemente la matriz con la diagonal intercambiada y los otros elementos cambiados de signo, de filas $(3, -1)$ y $(-5, 2)$. Segundo, decide si la matriz de filas $(3, 6)$ y $(1, 2)$ es invertible. Su determinante es $6 - 6 = 0$, así que es singular. Tercero, invierte la matriz diagonal con 2, 4 y 5 en la diagonal: la inversa tiene en la diagonal un medio, un cuarto y un quinto. Por último, usa la primera solución para resolver $2x + y = 4$ y $5x + 3y = 11$: al multiplicar la inversa por los términos independientes se obtiene $x = 3(4) - 11 = 1$ e $y = -5(4) + 2(11) = 2$, y ambas ecuaciones se cumplen.

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