Probabilidad básica: una introducción práctica

Resultados, sucesos y la escala de probabilidad

La probabilidad parte de un experimento aleatorio, como lanzar un dado, y de su espacio muestral, el conjunto de todos los resultados posibles. Para un lanzamiento de un dado normal, el espacio muestral es $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Un suceso es cualquier conjunto de resultados, como sacar un número par, que es el conjunto $\{2, 4, 6\}$.

Toda probabilidad está entre 0 y 1. Una probabilidad de 0 significa que el suceso no puede ocurrir, 1 significa que es seguro y 0.5 significa que es igual de probable que ocurra o que no. Las probabilidades pueden escribirse como fracciones, decimales o porcentajes, así que $\frac{1}{4}$, 0.25 y el 25 por ciento significan lo mismo. Cuando todos los resultados son igual de probables, la probabilidad de un suceso es un simple cociente, conocido como regla de Laplace:

Es decir, casos favorables entre casos posibles. Así, la probabilidad de sacar un número par es $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Con dos dados hay $6 \times 6 = 36$ resultados ordenados igual de probables, y seis de ellos suman 7, en concreto (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1), así que $P(\text{suma} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Para contar resultados en problemas más grandes se usan las técnicas de permutaciones y combinaciones.

La regla del suceso contrario

El suceso contrario, o complementario, de un suceso $A$ es todo lo que no está en $A$. Como tiene que ocurrir uno u otro, sus probabilidades suman 1:

Siempre que un enunciado diga «al menos uno», prueba primero con el suceso contrario. Casi siempre convierte un cálculo largo en uno corto.

La regla de la suma: A o B

La probabilidad de que ocurra $A$ o $B$, o ambos, se obtiene sumando sus probabilidades y restando la intersección, que de lo contrario se contaría dos veces:

Al sacar una carta de una baraja inglesa de 52 cartas, la probabilidad de que sea de corazones o un rey es $\frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$, porque el rey de corazones pertenece a los dos grupos. Los sucesos que no pueden ocurrir a la vez, como sacar un 2 y sacar un 5 en un mismo lanzamiento, son incompatibles. Su intersección es nula, así que sus probabilidades simplemente se suman.

La regla del producto: A y B

Dos sucesos son independientes cuando el resultado de uno no cambia la probabilidad del otro, como ocurre con lanzamientos de moneda distintos. Para sucesos independientes, se multiplica:

Por tanto, sacar dos caras en dos lanzamientos tiene probabilidad $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Cuando los sucesos son dependientes, la segunda probabilidad debe reflejar lo que ya ha ocurrido. Al sacar dos cartas sin reemplazamiento, la probabilidad de que ambas sean ases es $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$, porque tras retirar un as solo quedan 3 ases entre 51 cartas.

Probabilidad condicionada y teorema de Bayes

La probabilidad condicionada es la probabilidad de $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$, y se escribe $P(A \mid B)$. Saber que ha ocurrido $B$ reduce el espacio muestral a $B$:

El teorema de Bayes invierte una probabilidad condicionada y transforma $P(B \mid A)$ en $P(A \mid B)$. Su aplicación más famosa muestra por qué un resultado positivo en una prueba médica puede ser menos alarmante de lo que parece.

La esperanza matemática

La esperanza matemática, o valor esperado, de un juego o de una variable aleatoria es el resultado medio a largo plazo, y se obtiene multiplicando cada resultado por su probabilidad y sumando:

Supón que un juego paga 10 dólares si el dado muestra un seis y te cuesta 2 dólares en caso contrario. La esperanza es $10 \cdot \frac{1}{6} - 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10 - 10}{6} = 0$, así que el juego es justo: tras muchas partidas cabe esperar quedarse a la par. Los juegos de casino se diseñan con una esperanza ligeramente negativa para el jugador, y así es como los casinos ganan dinero a lo largo de millones de apuestas aunque algunos jugadores ganen a veces. Los seguros funcionan con el mismo principio desde el otro lado: la aseguradora cobra en primas algo más de lo que espera pagar en siniestros.

Trampas frecuentes

• La falacia del jugador: tras cinco rojos seguidos en una ruleta equilibrada, al negro no «le toca». Cada tirada es independiente, así que la probabilidad no cambia.
• Sumar las probabilidades de sucesos que se solapan sin restar la intersección, lo que puede dar probabilidades mayores que 1.
• Multiplicar las probabilidades de sucesos que no son independientes.
• Confundir $P(A \mid B)$ con $P(B \mid A)$, como en el ejemplo de la prueba médica.
• Subestimar las coincidencias: en un grupo de solo 23 personas, la probabilidad de que dos cumplan años el mismo día es de alrededor del 50.7 por ciento.

La ley de los grandes números explica lo que la probabilidad sí garantiza: cuando un experimento se repite muchas veces, la proporción de veces que ocurre un suceso se estabiliza cerca de su probabilidad. No promete nada sobre una serie corta de resultados. La calculadora de probabilidad resuelve sucesos simples, compuestos y condicionados paso a paso, y la calculadora de permutaciones y combinaciones cuenta los resultados que necesitan muchos problemas de probabilidad.

Diagramas de árbol para problemas en varias etapas

Cuando un experimento se desarrolla por etapas, un diagrama de árbol permite seguir cada camino. Cada rama se etiqueta con su probabilidad, se multiplica a lo largo de un camino para obtener la probabilidad de esa secuencia completa y se suman los caminos que forman el suceso buscado.

Los diagramas de árbol hacen visual la regla del producto y muestran con claridad dónde cambian las probabilidades de una etapa a otra. También son la forma más fiable de plantear un problema del teorema de Bayes, porque cada rama de la segunda etapa es una probabilidad condicionada.

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