Cómo calcular la desviación típica (muestral y poblacional)

Qué mide la desviación típica

La media indica dónde está el centro de un conjunto de datos, pero no lo agrupados que están los valores a su alrededor. La desviación típica, o desviación estándar, cubre ese hueco. Una desviación típica pequeña significa que los valores están cerca de la media; una grande, que están muy dispersos. Se mide en las mismas unidades que los datos, así que una desviación típica de 5 centímetros en estaturas significa que una estatura típica se aleja unos 5 centímetros de la media.

El cálculo sigue una lógica sencilla. Mide la distancia de cada valor a la media, eleva esas distancias al cuadrado para que los valores por encima y por debajo de la media no se anulen, promedia los cuadrados y, por último, saca la raíz cuadrada para volver a las unidades originales. Si necesitas repasar la propia media, empieza por media, mediana, moda y desviación típica.

Las dos fórmulas

Hay dos versiones, según tus datos sean una población completa o una muestra extraída de una población mayor:

La desviación típica poblacional $\sigma$ divide entre el número de valores $N$. La desviación típica muestral $s$ divide entre $n - 1$. La cantidad bajo la raíz es la varianza, que se escribe $\sigma^2$ o $s^2$. La varianza es útil en teoría, pero sus unidades están al cuadrado, como los centímetros cuadrados, y por eso el número que suele darse es la desviación típica.

Cinco pasos, resueltos a mano

Una tabla con columnas para $x$, $x - \bar{x}$ y $(x - \bar{x})^2$ mantiene el trabajo ordenado. Una comprobación útil es que las desviaciones de la segunda columna siempre suman cero. Si no es así, la media está mal, y todo lo que venga después también lo estará.

¿Por qué se divide entre n menos 1 en una muestra?

Cuando trabajas con una muestra, no conoces la verdadera media de la población, así que mides las desviaciones respecto de la media muestral. La media muestral es, por construcción, el punto que hace lo más pequeña posible la suma de las desviaciones al cuadrado para esa muestra concreta. Por tanto, las desviaciones medidas respecto de ella son, en promedio, algo menores de lo que serían respecto de la verdadera media.

Dividir entre $n - 1$ en lugar de entre $n$ corrige ese efecto y convierte la varianza muestral en un estimador insesgado de la varianza poblacional. Este ajuste se llama corrección de Bessel. Otra forma de verlo es mediante los grados de libertad: una vez conocidas la media y $n - 1$ de las desviaciones, la última queda determinada, porque todas deben sumar cero. Solo $n - 1$ desviaciones aportan información independiente.

En la práctica, usa la fórmula muestral salvo que tus datos incluyan de verdad a todos los miembros del grupo que te interesa, como las notas de todos los alumnos de una clase cuando solo te interesa esa clase.

Una fórmula abreviada y las tablas de frecuencias

Una fórmula algebraicamente equivalente evita calcular cada desviación por separado:

Para los datos del ejemplo 1, $\sum x^2 = 36 + 64 + 100 + 144 + 196 = 540$, así que $\sigma^2 = \frac{540}{5} - 10^2 = 8$, como antes. El atajo es rápido a mano, pero los ordenadores lo evitan con números grandes o muy precisos, porque restar dos números grandes casi iguales hace perder precisión.

Cómo interpretar el resultado

Para datos que siguen aproximadamente una distribución normal en forma de campana, la regla empírica da una lectura concreta de la desviación típica: alrededor del 68 por ciento de los valores está a menos de una desviación típica de la media, alrededor del 95 por ciento a menos de dos y alrededor del 99.7 por ciento a menos de tres. Si las estaturas de un grupo de adultos tienen media 170 centímetros y desviación típica 8, aproximadamente el 95 por ciento del grupo mide entre 154 y 186 centímetros.

Para datos con cualquier forma, la desigualdad de Chebyshev sigue garantizando que al menos el 75 por ciento de los valores está a menos de dos desviaciones típicas de la media, y al menos alrededor del 89 por ciento a menos de tres. Expresar la distancia de un valor a la media en desviaciones típicas da su puntuación z, que permite comparar valores medidos en escalas distintas.

La desviación típica también reacciona de forma previsible a los cambios en los datos. Sumar la misma constante a todos los valores desplaza la media pero no altera la desviación típica, porque la dispersión es la misma. Multiplicar todos los valores por una constante multiplica la desviación típica por el valor absoluto de esa constante, así que pasar de metros a centímetros la multiplica por 100.

Con calculadora u hoja de cálculo

Las calculadoras científicas suelen tener dos teclas, a menudo rotuladas $\sigma_x$ o $\sigma_n$ para la versión poblacional y $s_x$ o $\sigma_{n-1}$ para la muestral. En hojas de cálculo como Excel y Google Sheets en español, DESVEST.P calcula la desviación típica poblacional y DESVEST.M la muestral; la antigua función DESVEST también da el valor muestral. Elegir la equivocada es la causa más frecuente de que no coincidan los resultados.

La calculadora de desviación típica muestra las dos versiones junto con la tabla completa de desviaciones, lo que es ideal para comprobar deberes hechos a mano. La calculadora de media, mediana y moda añade los demás estadísticos de resumen, y la calculadora de puntuación z usa el resultado para tipificar valores concretos.

Comparar la dispersión entre escalas distintas

Las desviaciones típicas son difíciles de comparar cuando las medias son muy distintas. Una desviación típica de 2 kilogramos es grande para recién nacidos, pero minúscula para elefantes adultos. El coeficiente de variación resuelve el problema dividiendo la desviación típica entre la media, y suele expresarse en porcentaje. Dos inversiones con rentabilidades anuales medias del 6 y el 9 por ciento y desviaciones típicas de 3 y 9 puntos porcentuales tienen coeficientes de variación del 50 y el 100 por ciento, así que la segunda es el doble de volátil en relación con su rentabilidad habitual.

Errores frecuentes

• Olvidar elevar al cuadrado las desviaciones, de modo que los valores positivos y negativos se anulan y dan cero.
• Olvidar la raíz cuadrada final y dar la varianza en su lugar.
• Mezclar las fórmulas muestral y poblacional, o pulsar la tecla equivocada de la calculadora.
• Redondear mucho la media antes de calcular las desviaciones, lo que acumula error de redondeo.
• Tratar una tabla de frecuencias como si cada valor apareciera una sola vez.

Preguntas frecuentes