La puntuación z explicada con ejemplos resueltos

Qué mide una puntuación z

Una puntuación directa, por sí sola, dice poco. Sacar un 85 en un examen suena bien, pero si todos los demás han sacado un 95, en realidad es un resultado flojo. La puntuación z, también llamada puntuación típica o tipificada, lo resuelve midiendo un valor en relación con su grupo. Responde a una sola pregunta: ¿a cuántas desviaciones típicas de la media está este valor?

Aquí $x$ es el valor, $\mu$ es la media y $\sigma$ es la desviación típica. Una puntuación z positiva significa que el valor está por encima de la media; una negativa, que está por debajo; y cero, que coincide exactamente con la media. Una puntuación z de 2 significa dos desviaciones típicas por encima de la media, algo inusualmente alto en la mayoría de los conjuntos de datos. Si necesitas repasar cómo se calcula la propia desviación típica, consulta cómo calcular la desviación típica.

Cálculo de una puntuación z paso a paso

Las unidades siempre se cancelan, porque el numerador y el denominador se miden en las unidades originales. Eso es lo que hace que las puntuaciones z no tengan unidades y se puedan comparar entre medidas completamente distintas.

Comparar resultados en escalas distintas

El uso más práctico de las puntuaciones z es la comparación justa. Supón que una alumna saca un 82 en un examen de química con media 75 y desviación típica 5, y un 88 en un examen de historia con media 80 y desviación típica 8. La nota de historia es más alta, pero ¿qué resultado tiene más mérito?

En relación con sus compañeros, el resultado de química es mejor: 1.4 desviaciones típicas por encima de la media frente a 1.0. La misma idea permite a los científicos comparar medidas de instrumentos distintos, y a los analistas comparar el rendimiento de una empresa con el de sectores cuyos valores habituales son muy diferentes.

Del valor z al valor original

Al despejar en la fórmula se obtiene el valor original que corresponde a una puntuación z dada:

En el examen con media 70 y desviación típica 10, una puntuación z de $-1.2$ corresponde a $70 + (-1.2)(10) = 58$. Esta forma es útil para fijar notas de corte, por ejemplo para decidir qué nota necesita un alumno para entrar en el 10 por ciento superior, como muestra el ejemplo 4 más abajo.

De las puntuaciones z a los percentiles

Cuando los datos siguen una distribución normal, la campana de Gauss, una puntuación z puede convertirse en un percentil, la proporción de valores que quedan por debajo. La distribución normal estándar tiene media 0 y desviación típica 1, y su función de distribución, que se escribe $\Phi(z)$, da esa proporción. Conviene recordar algunos valores de referencia:

• $\Phi(0) = 0.5$: la media está en el percentil 50.
• $\Phi(1) \approx 0.8413$ y $\Phi(-1) \approx 0.1587$.
• $\Phi(1.5) \approx 0.9332$, así que el alumno del ejemplo 1 superó a alrededor del 93 por ciento de la clase.
• $\Phi(-0.8) \approx 0.2119$, así que la alumna del ejemplo 2 está cerca del percentil 21.
• $\Phi(1.96) \approx 0.975$, y por eso aparece el 1.96 en los intervalos de confianza del 95 por ciento.

La regla empírica resume la campana: alrededor del 68 por ciento de los valores está a menos de una desviación típica de la media, alrededor del 95 por ciento a menos de dos y alrededor del 99.7 por ciento a menos de tres. Por tanto, los valores con $|z| > 3$ son raros y a menudo se examinan como posibles valores atípicos.

Puntuaciones z para medias muestrales

Las medias varían menos que los valores individuales. Si se extraen muestras de tamaño $n$ de una población con media $\mu$ y desviación típica $\sigma$, la media muestral tiene desviación típica $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, llamada error típico o error estándar. La puntuación z de una media muestral es

Por ejemplo, si 25 alumnos del examen anterior tienen una media de 73, el error típico es $\frac{10}{\sqrt{25}} = 2$ y $z = \frac{73 - 70}{2} = 1.5$. Subir tres puntos es algo corriente para un alumno, pero bastante inusual para la media de 25 alumnos. Esta fórmula es el punto de partida de los contrastes z y de los intervalos de confianza en los cursos introductorios de estadística.

Precauciones al usar puntuaciones z

• Convertir puntuaciones z en percentiles con $\Phi$ solo es válido cuando los datos son aproximadamente normales. Para datos muy asimétricos, como los ingresos, los percentiles deben obtenerse de los propios datos.
• Usa la desviación típica poblacional cuando la conozcas y la muestral como estimación en caso contrario; con muestras pequeñas hay que recurrir a la distribución t de Student.
• Una puntuación z describe la posición dentro de un grupo. Comparar puntuaciones z de grupos con niveles muy diferentes puede seguir induciendo a error.
• Conserva el signo. Una puntuación z de $-2$ y otra de $2$ son igual de inusuales, pero significan cosas opuestas.

La calculadora de puntuación z calcula puntuaciones z, percentiles y el área entre dos valores, y la calculadora de desviación típica da la media y la desviación típica que necesitas antes.

Dónde aparecen las puntuaciones z en la práctica

Los informes de las pruebas estandarizadas suelen convertir las notas directas en puntuaciones escaladas o percentiles basados en la misma idea que la puntuación z. Los pediatras siguen la estatura y el peso de un niño con tablas de crecimiento, y algunas herramientas clínicas expresan esas medidas directamente como puntuaciones z para la edad del niño. Las densitometrías óseas dan una puntuación T, que es una puntuación z medida respecto de adultos jóvenes sanos. Los ingenieros de calidad señalan las piezas cuyas medidas se desvían más de tres desviaciones típicas del valor nominal, y los analistas financieros tipifican las rentabilidades para poder comparar en una misma escala fondos con distintos niveles de riesgo.

Ejercicios

1. Un conjunto de datos tiene media 50 y desviación típica 4. Halla la puntuación z de 56. Solución: $z = \frac{56 - 50}{4} = 1.5$.
2. Unas puntuaciones tienen media 100 y desviación típica 15. ¿Qué puntuación tiene $z = -2$? Solución: $100 + (-2)(15) = 70$.
3. Unos valores siguen una normal de media 500 y desviación típica 100. ¿Qué proporción queda por debajo de 650? Solución: $z = 1.5$, así que aproximadamente $\Phi(1.5) \approx 0.9332$, es decir, el 93 por ciento.

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