Calculadora de desviación típica

Sobre la calculadora de desviación típica

La desviación típica, también llamada desviación estándar, mide cuánto se dispersan los datos alrededor de su media. Una desviación típica pequeña significa que los valores están cerca del promedio; una grande, que están muy dispersos.

Usa la fórmula poblacional cuando tus datos incluyan a todos los miembros del grupo que te interesa, y la fórmula muestral, que divide entre $n-1$ , cuando los datos sean una muestra con la que se estima una población mayor.

¿Qué mide la desviación típica?

La desviación típica mide cuánto se dispersa un conjunto de números alrededor de su media. Si es pequeña, los valores están cerca del promedio; si es grande, están muy repartidos. Dos clases pueden sacar ambas una media de 70 en un examen, pero si una tiene una desviación típica de 3 y la otra de 15, el primer grupo ha rendido de forma homogénea, mientras que en el segundo hay desde alumnos con dificultades hasta alumnos excelentes.

Se calcula a partir de las desviaciones, es decir, de la distancia de cada valor a la media. Esas desviaciones siempre suman cero, así que se elevan al cuadrado antes de promediarlas, lo que da la varianza. Al sacar la raíz cuadrada de la varianza, el resultado vuelve a las unidades originales: la desviación típica de unas estaturas en centímetros también se expresa en centímetros.

Cómo usar la calculadora de desviación típica

Escribe o pega los números separados por comas, espacios o saltos de línea.
Elige Muestra o Población.
Pulsa Calcular para ver la media, las desviaciones al cuadrado, la varianza y la desviación típica.

Fórmulas

Desviación típica poblacional

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}

Desviación típica muestral

s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

Varianza

\sigma^2,\ s^2 = (\text{desviación típica})^2

Ejemplo resuelto: 4, 8, 6, 5, 3, 7 (muestra)

El ejemplo resuelto trata 4, 8, 6, 5, 3, 7 como una muestra. La media es $\frac{33}{6} = 5.5$ . Las desviaciones son $-1.5, 2.5, 0.5, -0.5, -2.5, 1.5$ , y sus cuadrados suman 17.5. Al dividir entre $n - 1 = 5$ se obtiene la varianza muestral 3.5, y su raíz cuadrada es la desviación típica muestral $s \approx 1.870828693$ . Para comparar, si esos mismos seis números se tratan como una población completa, se divide entre 6 y se obtiene $\sigma \approx 1.707825128$ .

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

s = 1.870828693

Cómo hemos leído tu problema

Se tratan los datos como una muestra de una población mayor (corrección de Bessel, se divide entre n − 1).

Solución paso a paso

Calcular la media
$\bar{x} = \frac{33}{6} = 5.5$
Elevar al cuadrado cada desviación respecto de la media
$(4 - 5.5)^2 = 2.25 \\ (8 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (6 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (5 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (3 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (7 - 5.5)^2 = 2.25$
Sumar los cuadrados de las desviaciones
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 17.5$
Dividir entre n − 1 para obtener la varianza muestral
$s^2 = \frac{17.5}{5} = 3.5$
Extraer la raíz cuadrada
$s = \sqrt{3.5} = 1.870828693$

Fórmulas utilizadas

Desviación típica muestral
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$
Desviación típica poblacional
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}$

La desviación típica mide cuánto se dispersan los valores alrededor de la media. Un valor pequeño indica que los datos están agrupados cerca de la media.

Comprobación

Varianza = 3.5, y 1.870828693² = 3.5
Desviación típica poblacional, para comparar: 1.707825128

Explicación detallada

Muestra o población en la práctica

Las dos fórmulas solo se diferencian en el divisor, pero la elección importa con conjuntos de datos pequeños. Si los números corresponden a todos los miembros del grupo que te interesa, como las notas de los 25 alumnos de una clase, usa la fórmula poblacional con $N$ . Si son una muestra con la que se estima la dispersión de un grupo mayor, como 25 alumnos elegidos de todo un centro, usa la fórmula muestral con $n - 1$ . El segundo ejemplo de la calculadora, 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 como población, tiene media 5 y sus desviaciones al cuadrado suman 32, así que $\sigma = \sqrt{\frac{32}{8}} = 2$ .

Cómo interpretar el resultado

Para datos con forma aproximada de campana, la regla empírica dice que alrededor del 68% de los valores están a menos de una desviación típica de la media, alrededor del 95% a menos de dos y alrededor del 99.7% a menos de tres. Por tanto, un valor que se aleja de la media más de dos desviaciones típicas es poco habitual. Si divides la distancia de un valor a la media entre la desviación típica obtienes su puntuación z, que permite comparar resultados medidos en escalas distintas, como la nota de un examen y el tiempo de una carrera.

La desviación típica es sensible a los valores atípicos, porque las desviaciones se elevan al cuadrado, y un solo valor extremo puede inflarla mucho. Para datos muy asimétricos, el rango intercuartílico suele resumir mejor la dispersión.

Errores frecuentes

Usar $n$ en lugar de $n - 1$ con una muestra, lo que subestima la dispersión.
Olvidar elevar al cuadrado las desviaciones, de modo que las positivas y las negativas se anulan y dan cero.
Dar la varianza cuando el enunciado pide la desviación típica.
Redondear la media antes de calcular las desviaciones, lo que altera todos los cuadrados.
Olvidar la raíz cuadrada final y dar la varianza como si fuera la desviación típica.

Consejos

Para datos con forma aproximada de campana, alrededor del 68% de los valores están a menos de una desviación típica de la media.
La desviación típica tiene las mismas unidades que los datos; la varianza tiene esas unidades al cuadrado.
Sumar una constante a todos los valores no cambia la desviación típica.
Si sumas una constante a todos los valores, la desviación típica no cambia; si multiplicas todos los valores por $k$ , queda multiplicada por $|k|$ .
Usa la calculadora de puntuación z para ver a cuántas desviaciones típicas de la media está un valor concreto.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la desviación típica?

Es la raíz cuadrada de la media de las distancias al cuadrado respecto de la media. Indica a qué distancia del promedio suele estar un valor.

¿Debo usar la fórmula muestral o la poblacional?

Usa la poblacional cuando tengas datos de todo el grupo. Usa la muestral cuando tus datos sean un subconjunto con el que describes un grupo mayor, que es el caso más habitual.

¿Por qué la fórmula muestral divide entre n − 1?

La media muestral está más cerca de los valores de la muestra que la media real, lo que reduce las desviaciones. Dividir entre $n-1$ (corrección de Bessel) lo compensa y da una estimación insesgada de la varianza.

¿Puede la desviación típica valer cero?

Sí, exactamente cuando todos los valores son iguales. Nunca puede ser negativa.

¿Cuántos valores necesito?

Basta un valor para la desviación típica poblacional (que vale 0). La fórmula muestral necesita al menos dos valores.

¿Qué diferencia hay entre la varianza y la desviación típica?

La varianza es la media de las desviaciones al cuadrado; la desviación típica es su raíz cuadrada, que devuelve la medida a las unidades de los datos.

¿Qué se considera una desviación típica buena o alta?

No hay un umbral universal; depende de la escala de los datos. Compárala con la media, o usa el coeficiente de variación $\frac{s}{\bar x}$ , para juzgar si la dispersión es grande en relación con los valores típicos.

¿Cómo afecta un valor atípico a la desviación típica?

Mucho, porque cada desviación se eleva al cuadrado. Si en el ejemplo se cambia 7 por 70, la desviación típica muestral pasa de unos 1.87 a más de 26.

Prueba la calculadora de desviación típica

Pega tus datos y obtén la media, la varianza y la desviación típica, con cada paso explicado.

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