Calculadora de permutaciones y combinaciones

Sobre la calculadora de permutaciones y combinaciones

Muchos problemas de recuento se reducen a una sola pregunta: ¿importa el orden de los elementos elegidos? Colocar a unos corredores en el podio es una permutación, porque oro-plata-bronce no es lo mismo que bronce-plata-oro. Elegir a tres personas para un comité es una combinación, porque las mismas tres personas forman el mismo comité en cualquier orden.

Esta calculadora cubre los cuatro casos habituales: permutaciones y combinaciones sin repetición, variaciones con repetición (como los códigos PIN) y combinaciones con repetición (como elegir bolas de helado entre varios sabores). Trabaja con números enteros exactos, así que incluso recuentos enormes, como el número de manos de póker, se muestran completos en lugar de redondeados.

¿Qué son las permutaciones y las combinaciones?

Una permutación es una ordenación de $r$ elementos elegidos entre $n$ elementos distintos. Su número es $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ , el producto de los $r$ primeros factores de $n!$ . Una combinación es una selección sin orden, y su número es $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$ .

Ambas están relacionadas: cada combinación de $r$ elementos se puede ordenar de $r!$ maneras, así que $P(n, r) = C(n, r) \times r!$ . La calculadora usa esta identidad para comprobar cada resultado de nPr y nCr.

Cómo usar la calculadora de permutaciones y combinaciones

Elige qué quieres contar: combinaciones, permutaciones, variaciones con repetición o combinaciones con repetición.
Escribe el número total de elementos n.
Escribe el número de elementos elegidos r.
Pulsa Calcular.
Consulta el resultado, la fórmula utilizada y los pasos de la simplificación.

Fórmulas

Permutaciones

P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}

Combinaciones

C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

Variaciones con repetición

n^r

Combinaciones con repetición

\binom{n + r - 1}{r}

Ejemplo resuelto: C(10, 3)

El ejemplo calcula $C(10, 3)$ , el número de formas de elegir 3 elementos de entre 10 cuando el orden no importa. Primero se cuentan las elecciones ordenadas: $P(10, 3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$ .

Cada grupo de tres aparece $3! = 6$ veces en esa lista, una por cada orden posible, así que $C(10, 3) = \frac{720}{6} = 120$ . La comprobación confirma que $120 \times 6 = 720$ .

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

120

Cómo hemos leído tu problema

Combinaciones nCr (el orden no importa)

Solución paso a paso

Aplicar la fórmula de las combinaciones
$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,7!}$
Dividir las permutaciones entre r! porque el orden no importa
$\frac{P(10, 3)}{3!} = \frac{720}{6} = 120$

Fórmulas utilizadas

Combinaciones nCr (el orden no importa)
$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

Hay 120 formas de elegir 3 elementos de entre 10 cuando el orden no importa.

Comprobación

Comprobación: P(10, 3) = C(10, 3) × 3! = 120 × 6 = 720.

Explicación detallada

Por qué se simplifican los factoriales

Escribir $\frac{n!}{(n-r)!}$ parece exigir números enormes, pero la mayoría de los factores se simplifican. Para $P(8, 3)$ solo queda $8 \times 7 \times 6 = 336$ : ocho opciones para el primer puesto, siete para el segundo y seis para el tercero. La calculadora muestra este atajo en lugar de calcular los factoriales completos.

Las combinaciones eliminan las $r!$ ordenaciones de cada selección. Por eso $C(n, r)$ es siempre menor o igual que $P(n, r)$ , y por eso $C(n, r) = C(n, n - r)$ : elegir qué $r$ elementos te llevas es lo mismo que elegir qué $n - r$ dejas.

Recuento con repetición

Cuando los elementos se pueden repetir y el orden importa, cada una de las $r$ posiciones tiene $n$ opciones, lo que da $n^r$ . Un PIN de cuatro cifras tiene $10^4 = 10{,}000$ posibilidades.

Cuando los elementos se pueden repetir pero el orden no importa, el método de las barras y estrellas da $\binom{n + r - 1}{r}$ . Elegir 4 bolas de helado entre 3 sabores, pudiendo repetir, se puede hacer de $\binom{6}{4} = 15$ maneras. En este modo, $r$ puede ser mayor que $n$ .

Números grandes y casos límite

El número de manos de póker de cinco cartas es $C(52, 5) = 2{,}598{,}960$ , y la calculadora mantiene exactos estos resultados gracias a la aritmética con números enteros. Por convenio, $C(n, 0) = 1$ , ya que hay exactamente una forma de no elegir nada.

Sin repetición no se pueden elegir más elementos de los que hay. Si pides $C(3, 5)$ , aparece un mensaje claro que sugiere un modo con repetición o un $r$ menor, en lugar de un cero sin sentido.

Las combinaciones y el triángulo de Pascal

Los valores $C(n, r)$ forman el triángulo de Pascal (o de Tartaglia), en el que cada número es la suma de los dos que tiene encima: $C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)$ . Esta identidad tiene una explicación combinatoria. Fija un elemento concreto; cada selección o bien lo incluye, y quedan $r - 1$ elementos por elegir entre los otros $n - 1$ , o bien lo excluye, y hay que elegir los $r$ entre los otros $n - 1$ .

Esos mismos números son los coeficientes del desarrollo del binomio $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ , y por eso se llaman coeficientes binomiales. Si sumas una fila completa obtienes $2^n$ , el número total de subconjuntos de un conjunto de $n$ elementos, ya que cada elemento está dentro o fuera.

Errores frecuentes

Usar permutaciones cuando el orden no importa, lo que cuenta de más en un factor $r!$ .
Usar combinaciones para ordenaciones como contraseñas, clasificaciones o distribuciones de asientos.
Olvidar que la repetición cambia por completo la fórmula.
Calcular a mano los factoriales completos en lugar de simplificarlos, lo que favorece los errores de cálculo.
Elegir un r mayor que n en un problema en el que los elementos no se pueden repetir.

Consejos

Pregúntate: «¿si intercambio dos elementos elegidos, obtengo un resultado distinto?». Si la respuesta es sí, usa permutaciones.
Usa $C(n, r) = C(n, n - r)$ para simplificar los cálculos a mano.
Divide los problemas complejos en etapas y multiplica los recuentos de cada etapa.
Divide un recuento entre el número total de casos para convertirlo en una probabilidad.
Usa el modo binomial de la calculadora de probabilidad cuando necesites la probabilidad de k éxitos en lugar de un simple recuento.
Haz antes una estimación: si un número de selecciones sale mayor que el de las ordenaciones correspondientes, algo ha fallado.

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre una permutación y una combinación?

Una permutación cuenta ordenaciones; una combinación cuenta selecciones sin orden. Elegir 3 de 10 elementos da 720 permutaciones, pero solo 120 combinaciones.

¿Cómo se calcula nCr?

Usa n! ÷ (r!(n − r)!). En la práctica, multiplica los r primeros factores de n! y divide entre r!. Para C(10, 3) se obtiene 720 ÷ 6 = 120.

¿Cómo se calcula nPr?

Multiplica los r primeros factores de n!: P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336.

¿Cuántas manos de póker de cinco cartas hay?

C(52, 5) = 2,598,960, porque el orden en que recibes las cartas no importa.

¿Qué significa «con repetición»?

Que cada elemento se puede elegir más de una vez, como las cifras de un PIN. Las selecciones ordenadas con repetición son nʳ; las no ordenadas son C(n + r − 1, r).

¿Por qué C(n, 0) es igual a 1?

Porque hay exactamente una forma de no elegir ningún elemento: la selección vacía. El mismo razonamiento da 0! = 1.

¿Puede r ser mayor que n?

Solo si se permite la repetición. Sin repetición, la calculadora explica que no se pueden elegir más elementos de los que hay.

Prueba la calculadora de permutaciones y combinaciones

Escribe n y r y obtén el recuento exacto, la fórmula y la simplificación de factoriales paso a paso.

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