Calculadora de probabilidad

Sobre la calculadora de probabilidad

La probabilidad mide lo verosímil que es un suceso en una escala que va de 0 (imposible) a 1 (seguro). La mayoría de los ejercicios de los libros de texto responden a unos pocos patrones: contar casos favorables, combinar sucesos independientes, condicionar a una información que ya se conoce y contar éxitos en ensayos repetidos. Esta calculadora resuelve los cuatro.

Los datos pueden ser recuentos enteros, decimales como 0.25, fracciones como 1/4 o porcentajes como 25%. Siempre que es posible, la respuesta se da como fracción exacta junto con su valor decimal y su porcentaje, para que puedas presentarla en la forma que espera tu profesor o tu libro. Cada modo muestra además las probabilidades complementarias o relacionadas que los ejercicios suelen pedir a continuación.

¿Qué es la probabilidad?

Cuando todos los resultados de un experimento son igualmente probables, la probabilidad de un suceso $A$ es el número de resultados de $A$ dividido entre el número total de resultados. Al lanzar dos dados hay 36 resultados igualmente probables, y en seis de ellos la suma es 7, así que $P(\text{suma} = 7) = \frac{6}{36} = \frac16$ .

Las probabilidades cumplen unas pocas reglas: están entre 0 y 1, la probabilidad de que $A$ no ocurra es $1 - P(A)$ y la probabilidad de que ocurra $A$ o $B$ es $P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . La probabilidad condicionada y la distribución binomial se construyen directamente sobre estas reglas.

Cómo usar la calculadora de probabilidad

Elige el tipo de problema: un solo suceso, dos sucesos independientes, probabilidad condicionada o binomial.
Para un solo suceso, escribe el número de casos favorables y el número total de casos igualmente probables.
Para sucesos independientes, escribe P(A) y P(B); para la probabilidad condicionada, escribe P(A y B) y P(B).
Para un problema binomial, escribe el número de ensayos n, la probabilidad de éxito p y el número de éxitos k, e indica si quieres exactamente, como máximo, menos de, al menos o más de k.
Pulsa Calcular la probabilidad y consulta la respuesta exacta, el porcentaje y los pasos que la justifican.

Fórmulas

Probabilidad clásica (regla de Laplace)

P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos totales}}

Sucesos independientes

P(A \cap B) = P(A)\,P(B)

Probabilidad condicionada

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Probabilidad binomial

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Ejemplo resuelto: Dos dados: P(suma 7) = 6/36

El ejemplo pide la probabilidad de que la suma de dos dados equilibrados sea 7. Hay 6 casos favorables, (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1), de un total de 36, así que $P = \frac{6}{36} = \frac16 \approx 0.1667$ , es decir, alrededor del 16.67%.

La calculadora da también el complementario, $1 - \frac16 = \frac56$ , que es la probabilidad de obtener cualquier otra suma, y las posibilidades a favor, $6 : 30$ , que compara los casos favorables con los desfavorables en lugar de con el total.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.16666667

Cómo hemos leído tu problema

Un solo suceso (favorables ÷ totales)

Solución paso a paso

Dividir los casos favorables entre el total de casos igualmente probables
$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.16666667$
Complementario: el suceso no ocurre
$P(A') = 1 - P(A) = \frac{5}{6} \approx 0.83333333$
Posibilidades a favor
$6 : 30$

Fórmulas utilizadas

Probabilidad clásica (regla de Laplace)
$P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos totales}}$
Suceso complementario
$P(A') = 1 - P(A)$

El suceso ocurre en 6 de 36 resultados igualmente probables, así que su probabilidad es 16.666667%; no ocurre con probabilidad 83.333333%.

Explicación detallada

Sucesos independientes y regla de la suma

Dos sucesos son independientes cuando saber que uno ha ocurrido no cambia la probabilidad del otro, como en dos lanzamientos distintos de una moneda. En ese caso, la probabilidad de que ocurran ambos es el producto. Con $P(A) = \frac12$ y $P(B) = 0.3$ , ambos ocurren con probabilidad $0.15$ , al menos uno con $0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65$ , exactamente uno con $0.65 - 0.15 = 0.5$ y ninguno con $0.5 \times 0.7 = 0.35$ .

La calculadora comprueba que $P(A \cup B) + P(\text{ninguno}) = 1$ , una verificación útil porque esos dos casos juntos cubren todos los resultados.

Probabilidad condicionada

La probabilidad condicionada reduce el espacio muestral a los resultados en los que ha ocurrido $B$ y se pregunta con qué frecuencia ocurre también $A$ dentro de ese espacio más pequeño. Si el 12% de los clientes compra a la vez un móvil y una funda, y el 40% compra un móvil, entonces $P(\text{funda} \mid \text{móvil}) = \frac{0.12}{0.4} = 0.3$ , así que el 30% de quienes compran un móvil se llevan también una funda.

La probabilidad conjunta nunca puede ser mayor que $P(B)$ , y $P(B)$ tiene que ser positiva; la calculadora muestra un error en cualquiera de esos dos casos. Recuerda que $P(A \mid B)$ y $P(B \mid A)$ suelen ser distintas, y que el teorema de Bayes es la herramienta que permite pasar de una a otra.

Probabilidad binomial

Un experimento binomial repite $n$ ensayos independientes, cada uno con la misma probabilidad de éxito $p$ . La probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos multiplica el número de formas de colocarlos, $\binom{n}{k}$ , por la probabilidad de una cualquiera de esas ordenaciones. Para como máximo, al menos, menos de o más de $k$ , la calculadora suma los términos correspondientes e indica cuáles ha sumado.

Por ejemplo, la probabilidad de obtener al menos 8 caras en 10 lanzamientos de una moneda equilibrada es $\frac{45 + 10 + 1}{1024} \approx 0.0547$ . La calculadora da también la media $np$ y la desviación típica $\sqrt{np(1-p)}$ de la distribución.

Errores frecuentes

Multiplicar las probabilidades de sucesos que no son independientes.
Sumar $P(A)$ y $P(B)$ sin restar la intersección, lo que puede dar un total mayor que 1.
Confundir $P(A \mid B)$ con $P(B \mid A)$ .
Contar resultados que no son igualmente probables, como tratar las sumas de 2 a 12 de dos dados como si tuvieran la misma probabilidad.
Confundir las posibilidades a favor con la probabilidad; unas posibilidades de 1 : 5 corresponden a una probabilidad de $\frac16$ .

Consejos

Usa el complementario en las preguntas de «al menos uno»: $1 - P(\text{ninguno})$ suele ser más rápido.
En los problemas pequeños, enumera o dibuja el espacio muestral antes de calcular.
Escribe las probabilidades como fracciones para que la respuesta sea exacta.
Comprueba que todas las respuestas están entre 0 y 1.
Usa la calculadora de permutaciones y combinaciones para contar los casos antes de dividir.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la probabilidad de un suceso?

Divide el número de casos favorables entre el número total de casos igualmente probables. Para que dos dados sumen 7 es 6 ÷ 36 = 1/6.

¿Cómo se calcula la probabilidad de que ocurran dos sucesos independientes?

Multiplica sus probabilidades. Con P(A) = 0.5 y P(B) = 0.3, ambos ocurren con probabilidad 0.15.

¿Qué es la probabilidad condicionada?

Es la probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B, P(A | B) = P(A y B) ÷ P(B). Se limita a los resultados en los que ocurre B.

¿Cuándo debo usar el modo binomial?

Cuando un experimento tiene un número fijo de ensayos independientes, cada uno con dos resultados posibles y la misma probabilidad de éxito, y quieres la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos.

¿Puedo escribir porcentajes o fracciones?

Sí. Las probabilidades se pueden escribir como decimales (0.25), fracciones (1/4) o porcentajes (25%). En el modo de un solo suceso, los recuentos de casos deben ser números enteros.

¿Qué diferencia hay entre las posibilidades a favor y la probabilidad?

La probabilidad compara los casos favorables con todos los casos; las posibilidades a favor comparan los casos favorables con los desfavorables. Una probabilidad de 1/6 corresponde a unas posibilidades a favor de 1 : 5.

¿Cómo calculo «al menos» en un problema binomial?

Elige «P(X ≥ k) al menos k». La calculadora suma las probabilidades desde k hasta n y muestra qué términos ha sumado.

Prueba la calculadora de probabilidad

Elige el tipo de problema y obtén la probabilidad exacta, el porcentaje y cada paso explicado.

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Sobre la calculadora de probabilidad

¿Qué es la probabilidad?

Cómo usar la calculadora de probabilidad

Fórmulas

Probabilidad clásica (regla de Laplace)

Sucesos independientes

Probabilidad condicionada

Probabilidad binomial

Ejemplo resuelto: Dos dados: P(suma 7) = 6/36

Respuesta final

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Solución paso a paso

Fórmulas utilizadas

Explicación detallada

Sucesos independientes y regla de la suma

Probabilidad condicionada

Probabilidad binomial

Errores frecuentes

Consejos

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la probabilidad de un suceso?

¿Cómo se calcula la probabilidad de que ocurran dos sucesos independientes?

¿Qué es la probabilidad condicionada?

¿Cuándo debo usar el modo binomial?

¿Puedo escribir porcentajes o fracciones?

¿Qué diferencia hay entre las posibilidades a favor y la probabilidad?

¿Cómo calculo «al menos» en un problema binomial?

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