Media, mediana, moda y desviación típica: guía completa

Centro y dispersión: las dos grandes preguntas

Una lista de números es difícil de leer de un vistazo. La estadística la resume respondiendo a dos preguntas. ¿Dónde está el centro de los datos? ¿Y cuánto se alejan normalmente los valores de ese centro? Las medidas de tendencia central, es decir, la media, la mediana y la moda, responden a la primera pregunta. Las medidas de dispersión, como el rango, el rango intercuartílico y la desviación típica, responden a la segunda.

Hacen falta las dos. Dos clases pueden tener la misma nota media en un examen y, sin embargo, en una todos han sacado notas cercanas a la media mientras que en la otra las notas van del suspenso a la nota perfecta. El centro por sí solo oculta esa diferencia, y la dispersión por sí sola no dice nada de lo bien que le ha ido a la clase en conjunto.

La media

La media, o media aritmética, es la suma de los valores dividida entre el número de valores. Para un conjunto de datos $x_1, x_2, \ldots, x_n$:

La media utiliza todos los valores, lo que la hace eficiente pero también sensible. Un solo valor extremo, un valor atípico, puede desplazarla mucho. Una media ponderada da a unos valores más peso que a otros. Si el examen final cuenta un 60 por ciento de la nota y los trabajos un 40 por ciento, unas notas de 80 y 90 se combinan en $0.6(80) + 0.4(90) = 84$, no en la media simple 85.

La mediana

La mediana es el valor central una vez ordenados los datos. Con un número impar de valores es el único valor central; con un número par es la media de los dos valores centrales.

La mediana no tiene en cuenta lo lejos que están los valores extremos del centro, lo que la hace resistente a los valores atípicos. Supón que cinco personas ganan 30, 35, 40, 45 y 50 mil dólares al año. La media y la mediana son ambas de 40 mil. Si se une al grupo una sexta persona que gana 1,000 mil dólares, es decir, un millón, la media se dispara hasta 200 mil, más de lo que gana cualquiera salvo el recién llegado, mientras que la mediana solo sube a 42.5 mil. Por eso los precios de la vivienda y los ingresos suelen expresarse con medianas.

La moda

La moda es el valor que aparece con más frecuencia. En las notas del examen, el 85 aparece tres veces, así que la moda es 85. Un conjunto de datos puede tener una moda, dos modas (bimodal), varias o ninguna si cada valor aparece exactamente una vez.

La moda es la única medida de centro que sirve para datos cualitativos. No se puede promediar colores favoritos ni marcas de zapatillas, pero sí se puede decir cuál es la más popular. Con datos numéricos, la moda resulta más útil cuando los valores se repiten a menudo, como las tallas de calzado en los registros de ventas de una tienda, donde la talla más frecuente es exactamente lo que necesita saber quien hace los pedidos.

¿Qué medida de centro conviene usar?

• Usa la media para datos aproximadamente simétricos y sin valores atípicos extremos, como estaturas o errores de medida.
• Usa la mediana para datos asimétricos o con valores atípicos, como ingresos, precios de la vivienda o tiempos de espera.
• Usa la moda para categorías, o para valores discretos en los que importa la opción más frecuente.

Comparar la media y la mediana también informa sobre la forma de los datos. Cuando la media es claramente mayor que la mediana, una larga cola de valores altos tira de ella hacia arriba, y los datos presentan asimetría a la derecha (asimetría positiva). Cuando la media es menor, presentan asimetría a la izquierda. En las notas del examen, la media de 82.1 queda por debajo de la mediana de 85, porque unas pocas notas bajas arrastran la media hacia abajo.

Medir la dispersión: rango y desviación típica

La medida de dispersión más sencilla es el rango, o recorrido: el valor mayor menos el menor. Para las notas del examen es $95 - 68 = 27$ puntos. El rango es fácil de calcular, pero depende por completo de los dos valores más extremos. El rango intercuartílico, que mide la dispersión de la mitad central de los datos, es más robusto.

La desviación típica, también llamada desviación estándar, es la medida de dispersión más utilizada. Viene a ser la distancia habitual de un valor a la media. Para una población completa es:

La diferencia entre dividir entre $n$ y entre $n - 1$, y por qué importa, se explica en detalle en cómo calcular la desviación típica.

Cómo combinar los resúmenes

Un buen resumen de un conjunto de datos da una medida de centro y una de dispersión que encajen entre sí. La media va de forma natural con la desviación típica, porque ambas usan todos los valores y ambas son sensibles a los valores atípicos. La mediana va con el rango intercuartílico, porque ambas son resistentes. Dar una mediana junto a una desviación típica mezcla dos filosofías distintas y puede inducir a error.

Para datos con forma aproximada de campana, la media y la desviación típica cuentan una historia notablemente completa: alrededor del 68 por ciento de los valores está a menos de una desviación típica de la media y alrededor del 95 por ciento a menos de dos. Medir la distancia de un valor a la media en desviaciones típicas es exactamente lo que hace una puntuación z. La calculadora de media, mediana y moda calcula todas las medidas de este artículo a partir de una lista pegada, y la calculadora de desviación típica muestra cada paso del cálculo de la dispersión.

Los cuartiles y el rango intercuartílico

Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuatro partes iguales. Un método sencillo consiste en hallar la mediana de cada mitad. Para las notas ordenadas, la mitad inferior es 68, 72, 77, 85, así que el primer cuartil es $\frac{72 + 77}{2} = 74.5$. La mitad superior es 85, 85, 90, 95, así que el tercer cuartil es $\frac{85 + 90}{2} = 87.5$. El rango intercuartílico es $87.5 - 74.5 = 13$ puntos, la anchura de la mitad central de la clase.

Los distintos libros de texto y programas usan convenios ligeramente diferentes para los cuartiles, así que pequeñas diferencias entre resultados son normales y no indican un error. Una regla habitual señala como posible valor atípico cualquier valor situado más de 1.5 rangos intercuartílicos por debajo del primer cuartil o por encima del tercero. Aquí los límites son 55 y 107, así que ninguna de las notas es inusual.

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