Calculadora de puntuación z

Sobre la calculadora de puntuación z

La puntuación z indica a qué distancia de la media está un valor, medida en desviaciones típicas. Convierte notas de exámenes distintos, estaturas de poblaciones diferentes o medidas en unidades distintas a una misma escala común, de modo que puedes compararlas directamente y ver lo inusuales que son.

Esta calculadora realiza las seis tareas con puntuaciones z que aparecen en los cursos de estadística: calcular $z$ a partir de un valor, recuperar el valor a partir de $z$ , hallar el área a la izquierda o a la derecha de $z$ , hallar el área entre dos puntuaciones z y obtener la puntuación z de un percentil dado. Las áreas se calculan directamente a partir de la distribución normal estándar, así que no hace falta consultar ninguna tabla.

¿Qué es una puntuación z?

Para un valor $x$ de una población con media $\mu$ y desviación típica $\sigma$ , la puntuación z es $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ . Una puntuación z de 0 significa que el valor es igual a la media; una puntuación z positiva, que está por encima de la media, y una negativa, que está por debajo.

Si los datos siguen una distribución normal, la puntuación z también indica el percentil. El área bajo la curva normal estándar a la izquierda de $z$ , que se escribe $\Phi(z)$ , es la proporción de valores menores que $x$ .

Cómo usar la calculadora de puntuación z

Elige el cálculo: puntuación z a partir de x, valor a partir de z, área a la izquierda, área a la derecha, área entre dos valores o puntuación z de un percentil.
Escribe los datos que pide el modo: x, la media y la desviación típica; una o dos puntuaciones z, o un percentil.
Los percentiles se pueden escribir como decimal, por ejemplo 0.95, o como porcentaje, por ejemplo 95%.
Pulsa Calcular.
Consulta la puntuación z o el área, y su interpretación como percentil.

Fórmulas

Puntuación z

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

Valor a partir de z

x = \mu + z\sigma

Área a la derecha

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

Área entre dos valores

P(z_1 < Z < z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)

Ejemplo resuelto: x = 85, μ = 70, σ = 10

El ejemplo toma una nota de $x = 85$ en una clase con media $\mu = 70$ y desviación típica $\sigma = 10$ . Al restar la media se obtiene 15, y al dividir entre la desviación típica, $z = 1.5$ : la nota está una desviación típica y media por encima del promedio.

El área a la izquierda de $z = 1.5$ es aproximadamente 0.9332, así que, si las notas siguen una distribución normal, el alumno ha superado a cerca del 93.32% de la clase.

La solución de abajo la genera el mismo motor que hace funcionar la calculadora de arriba.

Respuesta final

z = 1.5

Cómo hemos leído tu problema

Puntuación z a partir de x, la media y la desviación típica

Solución paso a paso

Restar la media al valor
$x - \mu = 85 - 70 = 15$
Dividir entre la desviación típica
$z = \frac{15}{10} = 1.5$
Buscar el área a la izquierda (percentil)
$\Phi(1.5) \approx 0.933193$

Fórmulas utilizadas

Puntuación z
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
Función de distribución normal estándar
$\Phi(z) = \tfrac12\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt2}\right)\right]$

85 está 1.5 desviaciones típicas por encima de la media; aproximadamente el 93.32% de una población normal queda por debajo.

Comprobación

A la inversa: μ + zσ = 70 + (1.5)(10) = 85.

Explicación detallada

Cómo leer áreas bajo la curva normal

El área total bajo la curva normal estándar es 1, y la curva es simétrica respecto de 0. El área a la izquierda de $z = 1.25$ es aproximadamente 0.8944; el área a la derecha de $z = 1.96$ es aproximadamente 0.025, y por eso 1.96 aparece en los intervalos de confianza del 95%. El área entre $-1$ y $1$ es aproximadamente 0.6827.

Estas áreas dan lugar a la regla empírica: alrededor del 68% de los valores de una distribución normal están a menos de una desviación típica de la media, alrededor del 95% a menos de dos y alrededor del 99.7% a menos de tres.

El camino inverso: del percentil a z

El modo inverso resuelve $\Phi(z) = p$ . Para el percentil 95 devuelve $z \approx 1.645$ . Combínalo con $x = \mu + z\sigma$ para hallar el valor de corte: con una media de 70 y una desviación típica de 10, el percentil 95 es aproximadamente $70 + 1.645 \times 10 \approx 86.45$ .

El modo de valor a partir de z realiza directamente ese segundo paso. Si introduces $z = 1.5$ con la misma media y la misma desviación típica, devuelve $x = 85$ , lo que invierte el ejemplo original.

Comparar valores en escalas distintas

Supón que un alumno saca 85 en un examen con media 70 y desviación típica 10, y otro saca 620 en un examen con media 500 y desviación típica 100. Sus puntuaciones z son 1.5 y 1.2, así que el primer resultado es relativamente mejor, aunque 620 parezca un número mayor.

Las puntuaciones z también sirven para detectar valores atípicos: los valores con $|z| > 3$ son raros en un modelo normal y merecen una segunda revisión. Ten en cuenta que la interpretación como percentil depende de que los datos sean aproximadamente normales; con datos muy asimétricos, la puntuación z sigue midiendo la distancia a la media, pero el área obtenida puede ser engañosa.

Errores frecuentes

Restar en el orden equivocado; es el valor menos la media, no la media menos el valor.
Dividir entre la varianza en lugar de entre la desviación típica.
Dar el área a la izquierda cuando se pide la probabilidad de superar un valor.
Escribir un percentil como 95 en lugar de 95% o 0.95.
Aplicar percentiles de la curva normal a datos que claramente no son normales.

Consejos

Dibuja la campana de Gauss y sombrea la región que necesitas antes de calcular.
Aprovecha la simetría: $P(Z < -z) = P(Z > z)$ .
Recuerda los valores de referencia 1.645, 1.96 y 2.576 para los intervalos bilaterales del 90%, 95% y 99%.
Si solo tienes los datos sin procesar, usa primero la calculadora de desviación típica.
Redondea las puntuaciones z a dos decimales solo al final.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula una puntuación z?

Resta la media al valor y divide entre la desviación típica: z = (x − μ) ÷ σ. Para x = 85, μ = 70 y σ = 10, z = 1.5.

¿Qué significa una puntuación z negativa?

Que el valor está por debajo de la media. Una puntuación z de −2 significa que el valor está dos desviaciones típicas por debajo del promedio.

¿Cómo convierto una puntuación z en un percentil?

Halla el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de z. Para z = 1.5 el área es aproximadamente 0.9332, es decir, el percentil 93.

¿Cómo hallo la puntuación z de un percentil?

Elige el modo inverso y escribe el percentil, por ejemplo 95%. La calculadora devuelve z ≈ 1.645.

¿Qué es una buena puntuación z?

Depende del contexto. Los valores entre −1 y 1 son habituales; los que superan ±2 son inusuales, y los que superan ±3 son raros en un modelo normal.

¿Necesito una tabla de la normal?

No. La calculadora obtiene las áreas de la normal directamente, así que consigues valores más precisos que los de una tabla impresa.

¿Por qué la calculadora rechaza una desviación típica de 0?

Porque dividir entre cero no está definido, y una desviación típica de 0 significa que todos los valores son iguales a la media, así que tipificar no tiene sentido.

Prueba la calculadora de puntuación z

Escribe un valor, la media y la desviación típica, o un percentil, y obtén la puntuación z y el área con cada paso explicado.

Usar la calculadora Preguntar al solucionador con IA