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Resolver un problema
Ecuaciones trigonométricasTrigonometríaBachillerato≈ 1:25

Resolver cos(x) = -1/2

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: x = 2π/3 + 2πk, x = 4π/3 + 2πk (k cualquier número entero).

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.5 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    cos⁡(x)=−12\cos\left( x\right) = \frac{-1}{2}
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. cos⁡(x)=−12\cos\left( x\right) = \frac{-1}{2}
      Partir de la ecuación
    2. f(x)=cos⁡(x)+12=0f(x) = \cos\left( x\right)+\frac{1}{2} = 0
      Reescribir como f(x) = 0
    3. El lado izquierdo se repite cada 2π, así que hallar las soluciones en un periodo
    4. x=2π3, x=4π3x = \frac{2\pi}{3},\ x = \frac{4\pi}{3}
      Soluciones en un periodo [0, 2π)
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. x=2π3+2πk,x=4π3+2πk,k∈Zx = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}
      Sumar cualquier número entero de periodos
  4. 4. La respuesta
    x=2π3+2πk, x=4π3+2πk, k∈Zx = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

    x = 2π/3 + 2πk, x = 4π/3 + 2πk (k any integer)

  5. 5. Comprobación
    • x = 2.0943951: primer miembro = -0.5, segundo miembro = -0.5 ✓
    • x = 4.1887902: primer miembro = -0.5, segundo miembro = -0.5 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: cos(x) es igual a menos 1 entre 2. Una ecuación periódica en x: tiene infinitas soluciones, una familia por cada solución en un solo periodo.

Pasos, parte 1. Partir de la ecuación. Reescribir como f(x) es igual a 0. El lado izquierdo se repite cada 2pi, así que hallar las soluciones en un periodo. f(x más 2pi) es igual a f(x) para todo x, así que cada solución es una de las soluciones en [0, 2pi) más un número entero de periodos. Soluciones en un periodo [0, 2pi).

Pasos, parte 2. Sumar cualquier número entero de periodos.

La respuesta. Entonces, la respuesta es x es igual a 2pi/3 más 2pik, x es igual a 4pi/3 más 2pik (k cualquier número entero). Cada solución en un periodo se encontró numéricamente, se comparó con un valor exacto y se confirmó mediante sustitución; añadir periodos completos da todas las soluciones.

Comprobación. x es igual a 2.0943951: primer miembro es igual a menos 0.5, segundo miembro es igual a menos 0.5, y se cumple. x es igual a 4.1887902: primer miembro es igual a menos 0.5, segundo miembro es igual a menos 0.5, y se cumple.

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