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Resolver un problema
Ecuaciones trigonométricasTrigonometríaBachillerato≈ 1:25

Resolver sin(x/2) = 1/2

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: x = π/3 + 4πk, x = 5π/3 + 4πk (k cualquier número entero).

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.5 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    sin⁡(x2)=12\sin\left(\frac{ x}{2}\right) = \frac{1}{2}
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. sin⁡(x2)=12\sin\left(\frac{ x}{2}\right) = \frac{1}{2}
      Partir de la ecuación
    2. f(x)=sin⁡(x2)+−12=0f(x) = \sin\left(\frac{ x}{2}\right)+\frac{-1}{2} = 0
      Reescribir como f(x) = 0
    3. El lado izquierdo se repite cada 4π, así que hallar las soluciones en un periodo
    4. x=π3, x=5π3x = \frac{\pi}{3},\ x = \frac{5\pi}{3}
      Soluciones en un periodo [0, 4π)
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. x=π3+4πk,x=5π3+4πk,k∈Zx = \frac{\pi}{3} + 4\pi k,\quad x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}
      Sumar cualquier número entero de periodos
  4. 4. La respuesta
    x=π3+4πk, x=5π3+4πk, k∈Zx = \frac{\pi}{3} + 4\pi k,\ x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi k,\ k \in \mathbb{Z}

    x = π/3 + 4πk, x = 5π/3 + 4πk (k any integer)

  5. 5. Comprobación
    • x = 1.0471976: primer miembro = 0.5, segundo miembro = 0.5 ✓
    • x = 5.2359878: primer miembro = 0.5, segundo miembro = 0.5 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: sin(x/2) es igual a 1 entre 2. Una ecuación periódica en x: tiene infinitas soluciones, una familia por cada solución en un solo periodo.

Pasos, parte 1. Partir de la ecuación. Reescribir como f(x) es igual a 0. El lado izquierdo se repite cada 4pi, así que hallar las soluciones en un periodo. f(x más 4pi) es igual a f(x) para todo x, así que cada solución es una de las soluciones en [0, 4pi) más un número entero de periodos. Soluciones en un periodo [0, 4pi).

Pasos, parte 2. Sumar cualquier número entero de periodos.

La respuesta. Entonces, la respuesta es x es igual a pi/3 más 4pik, x es igual a 5pi/3 más 4pik (k cualquier número entero). Cada solución en un periodo se encontró numéricamente, se comparó con un valor exacto y se confirmó mediante sustitución; añadir periodos completos da todas las soluciones.

Comprobación. x es igual a 1.0471976: primer miembro es igual a 0.5, segundo miembro es igual a 0.5, y se cumple. x es igual a 5.2359878: primer miembro es igual a 0.5, segundo miembro es igual a 0.5, y se cumple.

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