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Resolver un problema
Ecuaciones polinómicasÁlgebraBachillerato≈ 1:22

Resolver x³ + 1 = 0

Una lección animada paso a paso. Pulsa Reproducir para ver cada paso con subtítulos, o lee los pasos y la transcripción abajo. Respuesta: x = -1; complejo: 0.5 ± 0.8660254i.

Vídeo grabado: la voz y el texto en la imagen están en inglés. Subtítulos: Español. Para la narración en este idioma, abre la versión interactiva.

Video en inglés: Descargar MP4 (0.5 MB) · Subtítulos (WebVTT): Español · Subtítulos en inglés (WebVTT)

Pasos en pantalla

  1. 1. El problema
    Ejemplo resuelto
    x3+1=0{ x}^{3}+1 = 0
  2. 2. Pasos, parte 1
    1. x3+1=0{ x}^{3}+1 = 0
      Partir de la ecuación
    2. x3+1=0x^{3} + 1 = 0
      Pasar todos los términos a un miembro
    3. x2−x+1=0x^{2} - x + 1 = 0
      Probar los candidatos del teorema de las raíces racionales: x = -1 es una raíz
    4. x2−x+1=0x^{2} - x + 1 = 0
      Resolver la ecuación cuadrática restante
  3. 3. Pasos, parte 2
    1. Δ=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅1=−3\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3
      Calcular el discriminante
    2. Δ < 0, así que no hay raíces reales; las dos raíces son complejas conjugadas
    3. x=1±−32=1±3 i2x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}
      Aplicar la fórmula general con √(−1) = i
    4. x=1±3 i2x = \frac{1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}
      Simplificar
  4. 4. Pasos, parte 3
    1. x=−1x = -1
      Reunir las soluciones reales
  5. 5. En la gráfica
    -4-3-2-112-50-40-30-20-1010x = -1
    Cada solución es un punto donde la gráfica cruza el cero.
  6. 6. La respuesta
    x=−1x = -1

    x = -1

  7. 7. Comprobación
    • x = -1: primer miembro = 0, segundo miembro = 0 ✓

Transcripción

El problema. Este es el problema: x al cubo más 1 es igual a 0. Ecuación polinómica de grado 3 en x.

Pasos, parte 1. Partir de la ecuación. Pasar todos los términos a un miembro. Probar los candidatos del teorema de las raíces racionales: x es igual a menos 1 es una raíz. La división sintética (regla de Ruffini) entre (x más 1) deja un polinomio de grado 2. Resolver la ecuación cuadrática restante.

Pasos, parte 2. Calcular el discriminante. delta menor que 0, así que no hay raíces reales; las dos raíces son complejas conjugadas. Aplicar la fórmula general con la raíz cuadrada de menos 1 es igual a i. Simplificar.

Pasos, parte 3. Reunir las soluciones reales.

En la gráfica. Ahora mira la gráfica del lado izquierdo menos el lado derecho. Cruza el cero exactamente en las soluciones que encontramos.

La respuesta. Entonces, la respuesta es x es igual a menos 1; complejo: 0.5 más o menos 0.8660254i. Un polinomio de grado 3 tiene exactamente 3 raíces contadas con su multiplicidad (algunas pueden ser complejas). Primero se buscan las raíces racionales exactas y después el resto se resuelve de forma exacta o aproximada.

Comprobación. x es igual a menos 1: primer miembro es igual a 0, segundo miembro es igual a 0, y se cumple.

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