دنباله‌ها و سری‌هاجبردانشگاه≈ 1:37

محاسبه مجموع 1/3ⁿ از n=1 تا ∞

یک درس متحرک گام‌به‌گام. برای دیدن هر گام با زیرنویس، پخش را بزنید یا گام‌ها و متن کامل را در پایین بخوانید. پاسخ: سری همگرا است (سری هندسی (|r| < 1)); مجموع = 1/2.

سرعتزبان

فصل‌ها

متن درس

ویدیو ضبط‌شده: صدا و نوشته‌های داخل تصویر به زبان انگلیسی هستند. زیرنویس: فارسی. برای شنیدن روایت به این زبان، نسخه تعاملی را باز کنید.

ویدیوی انگلیسی: دانلود MP4 (0.6 MB) · زیرنویس (WebVTT): فارسی · زیرنویس انگلیسی (WebVTT)

گام‌ها روی صفحه

1. مسئله
مثال حل‌شده
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}$
2. گام به گام
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}$
  سری را بنویسید
2. $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{2}$
  تشخیص سری هندسی
3. جواب
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}} \ \text{همگراست} = \frac{1}{2}$
geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 1/2
4. بررسی
- مجموع‌های جزئی (شاهد پشتیبان، نه اثبات): S₁₀ = 0.49999153، S₁₀₀ = 0.5، S₁₀₀₀ = 0.5، S₁₀₀₀₀ = 0.5

متن کامل

مسئله. این مسئله است: محاسبه مجموع 1 تقسیم بر 3 به توان n از n مساوی 1 تا بی‌نهایت. مشخص کنید که Σ 1 تقسیم بر 3 به توان n (n از 1 تا ∞) همگراست یا واگرا.

گام به گام. سری را بنویسید. Σ a(n) برای n مساوی 1, 2, 3، … با a(n) مساوی 1 تقسیم بر 3 به توان n. جمله‌های اول: 0.333333, 0.111111, 0.037037, 0.0123457، …. تشخیص سری هندسی. هر جمله برابر جملهٔ قبلی ضرب در r مساوی 1 تقسیم بر 3 است (برای 40 جملهٔ اول بررسی شد)، با جملهٔ اول a مساوی 1 تقسیم بر 3. چون |r| کوچک‌تر از 1، سری همگراست و مجموعش a/(1 منهای r) مساوی 1 تقسیم بر 2 تقریباً 0.5 است.

جواب. پس جواب این است: سری همگرا است (سری هندسی (|r| کوچک‌تر از 1)); مجموع مساوی 1 تقسیم بر 2. سری وقتی همگراست که مجموع‌های جزئی‌اش به عددی متناهی میل کنند. برای این کار جمله‌ها باید به 0 میل کنند، اما این به‌تنهایی کافی نیست (سری همساز واگراست)، پس برای تصمیم‌گیری از آزمون مقایسه، نسبت، ریشه، سری متناوب یا انتگرال استفاده می‌شود.

بررسی. مجموع‌های جزئی (شاهد پشتیبان، نه اثبات): S₁₀ مساوی 0.49999153، S₁₀₀ مساوی 0.5، S₁₀₀₀ مساوی 0.5، S₁₀₀₀₀ مساوی 0.5.

گام‌ها روی صفحه

متن کامل

درس‌های مشابه