رفتن به محتوا
MathSolver Pro
  • باز کردن حل‌کننده
  • از معلم هوشمند بپرسید
  • یافتن درس AP
  • ساخت آزمونک
  • باز کردن ماشین‌حساب
  • ماشین‌حساب نموداری
  • همه ماشین‌حساب‌ها
  • خواندن راهنماهای ریاضی
↑ ↓Enter برای باز کردن · Esc برای بستن
حل یک مسئله
حدحساباندانشگاه≈ 2:27

یافتن lim x→∞ (1 + 2/x)ˣ

یک درس متحرک گام‌به‌گام. برای دیدن هر گام با زیرنویس، پخش را بزنید یا گام‌ها و متن کامل را در پایین بخوانید. پاسخ: حد = e² ≈ 7.389056099.

ویدیو ضبط‌شده: صدا و نوشته‌های داخل تصویر به زبان انگلیسی هستند. زیرنویس: فارسی. برای شنیدن روایت به این زبان، نسخه تعاملی را باز کنید.

ویدیوی انگلیسی: دانلود MP4 (0.9 MB) · زیرنویس (WebVTT): فارسی · زیرنویس انگلیسی (WebVTT)

گام‌ها روی صفحه

  1. 1. مسئله
    مثال حل‌شده
    lim⁡x→∞(1+2x)x\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{2}{x}\right)}^{x}
  2. 2. گام‌ها، بخش 1
    1. lim⁡x→∞(1+2x)x=e lim⁡x→∞[xln⁡(1+2x)]\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{2}{x}\right)}^{x} = e^{\,\lim_{x \to \infty} \left[ x \ln\left(1+\frac{2}{x}\right)\right]}
      حالت مبهم 1^∞: لگاریتم بگیرید
    2. lim⁡x→∞xln⁡(1+2x)=lim⁡x→∞ln⁡(1+2x)1x\lim_{x \to \infty} x \ln\left(1+\frac{2}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\frac{1}{x}}
      حالت مبهم 0·∞: به شکل خارج‌قسمت بازنویسی کنید
    3. lim⁡x→∞ln⁡(1+2x)1x=lim⁡x→∞−2x22x+1−1x2\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{2}{{x}^{2}}}{\frac{2}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}
      حالت مبهم 0/0: قاعدهٔ هوپیتال را به کار ببرید
    4. lim⁡x→∞−2x22x+1−1x2=lim⁡x→∞22x+1\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{2}{{x}^{2}}}{\frac{2}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\frac{2}{x}+1}
      ساده کنید
  3. 3. گام‌ها، بخش 2
    1. lim⁡x→∞22x+1=lim⁡t→022t+1=2\lim_{x \to \infty} \frac{2}{\frac{2}{x}+1} = \lim_{t \to 0} \frac{2}{2\mathrm{t}+1} = 2
      جایگذاری x = 1/t (t → 0⁺)
    2. lim⁡x→∞(1+2x)x=e2=e2\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{2}{x}\right)}^{x} = e^{2} = {e}^{2}
      e را به توان نتیجه برسانید
  4. 4. جواب
    lim⁡x→∞(1+2x)x=e2≈7.389056099\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{2}{x}\right)}^{x} = {e}^{2} \approx 7.389056099

    lim x→∞ (1 + 2 / x)^x = e² ≈ 7.389056099

  5. 5. بررسی
    • مقدارهای عددی با بزرگ شدن x سازگارند: f(127.18281) = 7.2749544, f(1271.8281) = 7.3774578, f(12718.281) = 7.3878944, f(127182.81) = 7.3889399 ✓

متن کامل

مسئله. این مسئله است: یافتن lim x- بزرگ‌تر از بی‌نهایت (1 به‌علاوه 2/x) به توان x. حد (1 به‌علاوه 2 / x) به توان x را وقتی x → ∞ پیدا کنید.

گام‌ها، بخش 1. حالت مبهم 1^∞: لگاریتم بگیرید. توان را به شکل e^(نما ضرب در ln پایه) بنویسید؛ چون eᵘ پیوسته است، حد برابر e به توان حد نماست. حالت مبهم 0 ضرب در ∞: به شکل خارج‌قسمت بازنویسی کنید. بردن یکی از عامل‌ها به مخرج به صورت معکوسش، 0 ضرب در ∞ را به 0 تقسیم بر 0 یا ∞/∞ تبدیل می‌کند. حالت مبهم 0 تقسیم بر 0: قاعدهٔ هوپیتال را به کار ببرید. از صورت و مخرج جداگانه مشتق بگیرید (این قاعدهٔ تقسیم نیست). ساده کنید.

گام‌ها، بخش 2. جایگذاری x مساوی 1/t (t → 0 به توان به‌علاوه ). e را به توان نتیجه برسانید.

جواب. پس جواب این است: حد مساوی e به توان دو تقریباً 7.389056099. حد مقداری را توصیف می‌کند که تابع به آن نزدیک می‌شود، نه لزوماً مقداری که می‌گیرد. وقتی جایگذاری حالتی مبهم می‌دهد، عبارت بازنویسی می‌شود (با قاعدهٔ هوپیتال، مزدوج یا لگاریتم) تا جایگذاری جواب بدهد.

بررسی. مقدارهای عددی با بزرگ شدن x سازگارند: f(127.18281) مساوی 7.2749544, f(1271.8281) مساوی 7.3774578, f(12718.281) مساوی 7.3878944, f(127182.81) مساوی 7.3889399، که درست است.

درس‌های مشابه

یافتن lim x→∞ (1 + 2/x)ˣ — درس ویدیویی گام‌به‌گام