DérivéesAnalyseUniversité≈ 1:27

Dérivée de (sin(x²+1))/(arctan(x²+1))

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: f'(x) = (2cos(x² + 1) / atan(x² + 1) - 2(1 / atan(x² + 1))²·sin(x² + 1) / ((x² + 1)² + 1))·x.

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}\right]$
2. Étapes, partie 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}\right] = \left(\frac{2\cos\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}-\frac{2 \left({\frac{1}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}}\right)^{2} \sin\left({x}^{2}+1\right)}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}+1}\right) x$
  Dérivée d’un quotient : (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
2. $\frac{d}{dx}\left[\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)\right] = \frac{2x}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}+1}$
  Règle de dérivation en chaîne — d/dx[arctan u] = u′/(1 + u²)
3. $\frac{d}{dx}\left[\sin\left({x}^{2}+1\right)\right] = 2\cos\left({x}^{2}+1\right) x$
  Dérivée d’une composée — d/dx[sin u] = cos u · u′
4. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+1\right] = 2x$
  Dérivée d’une somme : dériver chaque terme séparément
3. Étapes, partie 2
1. $\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
  Dérivée d’une puissance : d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
2. $f'(x) = \left(\frac{2\cos\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}-\frac{2 \left({\frac{1}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}}\right)^{2} \sin\left({x}^{2}+1\right)}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}+1}\right) x$
  Regrouper et simplifier
4. La réponse
$f'(x) = \left(\frac{2\cos\left({x}^{2}+1\right)}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}-\frac{2 \left({\frac{1}{\tan^{-1}\left({x}^{2}+1\right)}}\right)^{2} \sin\left({x}^{2}+1\right)}{{\left({x}^{2}+1\right)}^{2}+1}\right) x$
f'(x) = (2cos(x² + 1) / atan(x² + 1) - 2(1 / atan(x² + 1))²·sin(x² + 1) / ((x² + 1)² + 1))·x
5. Vérification
- Contrôlé numériquement avec un dérivateur symbolique indépendant en 8 points tests ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Dérivée de (sin(x au carré plus 1))/(arctan(x au carré plus 1)). Calculer la dérivée de (sin(x au carré plus 1)) / (atan(x au carré plus 1)) par rapport à x.

Étapes, partie 1. Dérivée d’un quotient: (u/v) prime égale (u prime v moins uv prime )/v au carré. Règle de dérivation en chaîne — d sur d x[arctan u] égale u prime /(1 plus u au carré). Dérivée d’une composée — d sur d x[sin u] égale cos u fois u prime. Dérivée d’une somme: dériver chaque terme séparément.

Étapes, partie 2. Dérivée d’une puissance: d sur d x[x puissance n] égale n fois x puissance n moins 1. Regrouper et simplifier.

La réponse. La réponse est donc f prime de x égale (2cos(x au carré plus 1) / atan(x au carré plus 1) moins 2(1 / atan(x au carré plus 1)) au carré fois sin(x au carré plus 1) / ((x au carré plus 1) au carré plus 1)) fois x. La dérivée se construit de l’extérieur vers l’intérieur: les sommes se séparent en termes, les constantes se mettent en facteur, les produits et les quotients suivent leurs formules, et chaque fonction composée est multipliée par la dérivée de sa fonction intérieure (dérivée d’une composée).

Vérification. Contrôlé numériquement avec un dérivateur symbolique indépendant en 8 points tests, ce qui est vérifié.

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Transcription

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