Évaluer la somme de 1/n de n=1 à ∞

Le problème. Voici le problème : Évaluer la somme de 1/n de n égale 1 à l prime infini. Déterminer si Σ 1 / n (n de 1 à ∞) converge ou diverge.

Étape par étape. Écrire la série. Σ a(n) pour n égale 1, 2, 3, … avec a(n) égale 1 / n. Premiers termes: 1, 0.5, 0.333333, 0.25, …. Test du terme général. lim a(n) égale 0: le test de divergence grossière ne permet pas de conclure; les termes diminuent bien, il faut donc un critère plus fin. Comparaison par équivalent avec une série de Riemann. Termes positifs: les termes décroissent approximativement comme 1/n (estimé à partir de a(2N)/a(N))), donc comparer avec Σ 1/n: lim a(n) fois n égale 1. La limite est un nombre fini positif, donc la série se comporte exactement comme la série de Riemann Σ 1/n, qui diverge car p inférieur ou égal à 1.

La réponse. La réponse est donc La série diverge (test de comparaison à la limite avec Σ 1/n). Une série converge lorsque ses sommes partielles tendent vers un nombre fini. Pour cela, le terme général doit tendre vers 0, mais cela ne suffit pas (la série harmonique diverge): on conclut donc avec un critère de comparaison, la règle de d’Alembert, la règle de Cauchy, le critère des séries alternées ou la comparaison série-intégrale.

Vérification. Sommes partielles (indice, pas une preuve): S₁₀ égale 2.9289683, S₁₀₀ égale 5.1873775, S₁₀₀₀ égale 7.4854709, S₁₀₀₀₀ égale 9.787606.