Suites et sériesAlgèbreUniversité≈ 2:47

Évaluer la somme de 1/n⁴ de n=1 à ∞

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: La série converge (test de comparaison à la limite avec Σ 1/n^4); somme ≈ 1.082323234 (correspond à π⁴/90 à plus de 10 chiffres).

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1. Le problème
Exemple résolu
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}}$
2. Étape par étape
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}}$
  Écrire la série
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{4}} = 0$
  Test du terme général
3. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{4}} = 1$
  Comparaison par équivalent avec une série de Riemann
4. Estimer la somme numériquement
3. La réponse
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{4}} \ \text{converge} \approx 1.082323234$
limit comparison with Σ 1/n^4 ⇒ converges, S ≈ 1.082323234 (matches π⁴/90 to 10+ digits)
4. Vérification
- Sommes partielles (indice, pas une preuve) : S₁₀ = 1.0820366, S₁₀₀ = 1.0823229, S₁₀₀₀ = 1.0823232, S₁₀₀₀₀ = 1.0823232

Transcription

Le problème. Voici le problème : Évaluer la somme de 1/n puissance 4 de n égale 1 à l prime infini. Déterminer si Σ 1 / n puissance 4 (n de 1 à ∞) converge ou diverge.

Étape par étape. Écrire la série. Σ a(n) pour n égale 1, 2, 3, … avec a(n) égale 1 / n puissance 4. Premiers termes: 1, 0.0625, 0.0123457, 0.00390625, …. Test du terme général. lim a(n) égale 0: le test de divergence grossière ne permet pas de conclure; les termes diminuent bien, il faut donc un critère plus fin. Comparaison par équivalent avec une série de Riemann. Termes positifs: les termes diminuent à peu près comme 1/n puissance 4 (estimé à partir de a(2N)/a(N)): on compare donc avec Σ 1/n puissance 4: lim a(n) fois n puissance 4 égale 1. La limite est un nombre positif fini, donc la série se comporte exactement comme la série de Riemann Σ 1/n puissance 4, qui converge car p supérieur à 1. Estimer la somme numériquement. Les sommes partielles S N ont été calculées pour plusieurs N et extrapolées à N → ∞ (extrapolation de Richardson; pour des termes alternés, on fait d prime abord la moyenne). Deux extrapolations indépendantes concordent à mieux que 10 puissance moins 10, ce qui donne S environ 1.082323234. Toute forme close affichée est une identification numérique, pas une preuve.

La réponse. La réponse est donc La série converge (test de comparaison à la limite avec Σ 1/n puissance 4; somme environ 1.082323234 (correspond à pi puissance 4 sur 90 à plus de 10 chiffres). Une série converge lorsque ses sommes partielles tendent vers un nombre fini. Pour cela, le terme général doit tendre vers 0, mais cela ne suffit pas (la série harmonique diverge): on conclut donc avec un critère de comparaison, la règle de d’Alembert, la règle de Cauchy, le critère des séries alternées ou la comparaison série-intégrale.

Vérification. Sommes partielles (indice, pas une preuve): S₁₀ égale 1.0820366, S₁₀₀ égale 1.0823229, S₁₀₀₀ égale 1.0823232, S₁₀₀₀₀ égale 1.0823232.

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