Suites et sériesAlgèbreUniversité≈ 3:06

Évaluer la somme de (-1)ⁿ/n de n=1 à ∞

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: La série converge conditionnellement (test des séries alternées); somme ≈ -0.6931471806 (correspond à −ln(2) à plus de 10 chiffres).

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
2. Étapes, partie 1
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n}$
  Écrire la série
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$
  Test du terme général
3. Critère spécial des séries alternées
4. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = 1$
  Comparaison par équivalent avec une série de Riemann
3. Étapes, partie 2
1. Absolue ou semi-convergente ?
2. Estimer la somme numériquement
4. La réponse
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{n}}{n} \ \text{est semi-convergente} \approx -0.6931471806$
alternating series test ⇒ converges conditionally, S ≈ -0.6931471806 (matches −ln(2) to 10+ digits)
5. Vérification
- Sommes partielles (indice, pas une preuve) : S₁₀ = -0.64563492, S₁₀₀ = -0.68817218, S₁₀₀₀ = -0.69264743, S₁₀₀₀₀ = -0.69309718

Transcription

Le problème. Voici le problème : Évaluer la somme de (moins 1) puissance n/n de n égale 1 à l prime infini. Déterminer si Σ (moins 1) puissance n / n (n de 1 à ∞) converge ou diverge.

Étapes, partie 1. Écrire la série. Σ a(n) pour n égale 1, 2, 3, … avec a(n) égale (moins 1) puissance n / n. Premiers termes: moins 1, 0.5, moins 0.333333, 0.25, …. Test du terme général. lim |a(n)| égale 0: le test de divergence grossière ne permet pas de conclure; les termes diminuent bien, il faut donc un critère plus fin. Critère spécial des séries alternées. Les signes alternent et les valeurs absolues b(n) égale 1 / n décroissent (vérifié sur 310 indices jusqu’à 10 puissance 6) et tendent vers 0: la série converge donc. Comparaison par équivalent avec une série de Riemann. Valeurs absolues Σ 1 / n: les termes diminuent à peu près comme 1/n (estimé à partir de a(2N)/a(N)): on compare donc avec Σ 1/n: lim a(n) fois n égale 1. La limite est un nombre positif fini, donc la série se comporte exactement comme la série de Riemann Σ 1/n, qui diverge car p inférieur ou égal à 1.

Étapes, partie 2. Absolue ou semi-convergente ?. Σ |a(n)| diverge (comparaison par équivalent avec Σ 1/n): la série est donc seulement semi-convergente. Estimer la somme numériquement. Les sommes partielles S N ont été calculées pour plusieurs N et extrapolées à N → ∞ (extrapolation de Richardson; pour des termes alternés, on fait d prime abord la moyenne). Deux extrapolations indépendantes concordent à mieux que 10 puissance moins 10, ce qui donne S environ moins 0.6931471806. Toute forme close affichée est une identification numérique, pas une preuve.

La réponse. La réponse est donc La série converge conditionnellement (test des séries alternées); somme environ moins 0.6931471806 (correspond à moins ln(2) à plus de 10 chiffres). Une série converge lorsque ses sommes partielles tendent vers un nombre fini. Pour cela, le terme général doit tendre vers 0, mais cela ne suffit pas (la série harmonique diverge): on conclut donc avec un critère de comparaison, la règle de d’Alembert, la règle de Cauchy, le critère des séries alternées ou la comparaison série-intégrale.

Vérification. Sommes partielles (indice, pas une preuve): S₁₀ égale moins 0.64563492, S₁₀₀ égale moins 0.68817218, S₁₀₀₀ égale moins 0.69264743, S₁₀₀₀₀ égale moins 0.69309718.

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