LimitesAnalyseUniversité≈ 2:54

Trouver lim x→0 (1 + x)^(1/x)

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}}$
2. Étapes, partie 1
1. $\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e^{\,\lim_{x \to 0} \left[\frac{1}{x} \ln\left(1+ x\right)\right]}$
  Forme indéterminée 1^∞ : passer au logarithme
2. $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(1+ x\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x+1\right)}{x}$
  Forme indéterminée 0·∞ : réécrire sous forme de quotient
3. $\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x+1\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1}$
  Forme indéterminée 0/0 : appliquer la règle de L’Hôpital
4. $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1}$
  Simplifier
3. Étapes, partie 2
1. $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{0+1} = 1$
  Substitution directe
2. $\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e^{1} = e$
  Appliquer l’exponentielle au résultat
4. La réponse
$\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e \approx 2.718281828$
lim x→0 (1 + x)^(1 / x) = e ≈ 2.718281828
5. Vérification
- Les valeurs numériques à droite concordent : f(0.01) = 2.7048138, f(0.001) = 2.7169239, f(0.0001) = 2.7181459, f(0.00001) = 2.7182682 ✓
- Les valeurs numériques à gauche concordent : f(-0.01) = 2.731999, f(-0.001) = 2.7196422, f(-0.0001) = 2.7184178, f(-0.00001) = 2.7182954 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver lim x- supérieur à 0 (1 plus x) puissance 1/x). Calculer la limite de (1 plus x) puissance 1 / x) quand x → 0.

Étapes, partie 1. Forme indéterminée 1^∞: passer au logarithme. Écrire la puissance sous la forme e puissance exposant fois ln base); comme eᵘ est continue, la limite est e élevé à la limite de l’exposant. Forme indéterminée 0 fois ∞: réécrire sous forme de quotient. Faire passer un facteur au dénominateur sous forme d’inverse transforme 0 fois ∞ en 0 sur 0 ou ∞/∞. Forme indéterminée 0 sur 0: appliquer la règle de L’Hôpital. Dériver séparément le numérateur et le dénominateur (ce n’est pas la dérivée d’un quotient). Simplifier.

Étapes, partie 2. Substitution directe. L’expression est continue en x égale 0: la limite est donc égale à sa valeur en ce point. Appliquer l’exponentielle au résultat.

La réponse. La réponse est donc Limite égale e environ 2.718281828. Une limite décrit la valeur dont une fonction s’approche, pas nécessairement la valeur qu’elle prend. Lorsque la substitution donne une forme indéterminée, l’expression est réécrite (règle de L’Hôpital, quantité conjuguée ou logarithmes) jusqu’à ce que la substitution fonctionne.

Vérification. Les valeurs numériques à droite concordent: f(0.01) égale 2.7048138, f(0.001) égale 2.7169239, f(0.0001) égale 2.7181459, f(0.00001) égale 2.7182682, ce qui est vérifié. Les valeurs numériques à gauche concordent: f(moins 0.01) égale 2.731999, f(moins 0.001) égale 2.7196422, f(moins 0.0001) égale 2.7184178, f(moins 0.00001) égale 2.7182954, ce qui est vérifié.

Étapes à l’écran

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