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Résoudre un problème
LimitesAnalyseUniversité≈ 2:28

Trouver lim x→0 (tan(x) - sin(x))/x³

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: Limite = 1/2 ≈ 0.5.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (1.0 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    lim⁡x→0tan⁡(x)−sin⁡(x)x3\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)-\sin\left( x\right)}{{x}^{3}}
  2. 2. Étape par étape
    1. lim⁡x→0tan⁡(x)−sin⁡(x)x3=lim⁡x→0sec⁡(x)2−cos⁡(x)3x2\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)-\sin\left( x\right)}{{x}^{3}} = \lim_{x \to 0} \frac{{\sec\left( x\right)}^{2}-\cos\left( x\right)}{3{x}^{2}}
      Forme indéterminée 0/0 : appliquer la règle de L’Hôpital
    2. lim⁡x→0sec⁡(x)2−cos⁡(x)3x2=lim⁡x→02sec⁡(x)2tan⁡(x)+sin⁡(x)6x\lim_{x \to 0} \frac{{\sec\left( x\right)}^{2}-\cos\left( x\right)}{3{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2 {\sec\left( x\right)}^{2} \tan\left( x\right)+\sin\left( x\right)}{6x}
      Forme indéterminée 0/0 : appliquer la règle de L’Hôpital
    3. lim⁡x→02sec⁡(x)2tan⁡(x)+sin⁡(x)6x=lim⁡x→04tan⁡(x)2sec⁡(x)2+2sec⁡(x)4+cos⁡(x)6\lim_{x \to 0} \frac{2 {\sec\left( x\right)}^{2} \tan\left( x\right)+\sin\left( x\right)}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{4 {\tan\left( x\right)}^{2} {\sec\left( x\right)}^{2}+2 {\sec\left( x\right)}^{4}+\cos\left( x\right)}{6}
      Forme indéterminée 0/0 : appliquer la règle de L’Hôpital
    4. lim⁡x→04tan⁡(x)2sec⁡(x)2+2sec⁡(x)4+cos⁡(x)6=4tan⁡(0)2sec⁡(0)2+2sec⁡(0)4+cos⁡(0)6=12≈0.5\lim_{x \to 0} \frac{4 {\tan\left( x\right)}^{2} {\sec\left( x\right)}^{2}+2 {\sec\left( x\right)}^{4}+\cos\left( x\right)}{6} = \frac{4 {\tan\left(0\right)}^{2} {\sec\left(0\right)}^{2}+2 {\sec\left(0\right)}^{4}+\cos\left(0\right)}{6} = \frac{1}{2} \approx 0.5
      Substitution directe
  3. 3. La réponse
    lim⁡x→0tan⁡(x)−sin⁡(x)x3=12≈0.5\lim_{x \to 0} \frac{\tan\left( x\right)-\sin\left( x\right)}{{x}^{3}} = \frac{1}{2} \approx 0.5

    lim x→0 (tan(x) - sin(x)) / x³ = 1/2 ≈ 0.5

  4. 4. Vérification
    • Valeurs numériques par la droite : f(0.01) = 0.5000125, f(0.001) = 0.50000013, f(0.0001) = 0.5, f(0.00001) = 0.50000016 (pas de tendance claire à cette précision)
    • Valeurs numériques par la gauche : f(-0.01) = 0.5000125, f(-0.001) = 0.50000013, f(-0.0001) = 0.5, f(-0.00001) = 0.50000016 (pas de tendance claire à cette précision)

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver lim x- supérieur à 0 (tan(x) moins sin(x))/x au cube. Calculer la limite de (tan(x) moins sin(x)) / x au cube quand x → 0.

Étape par étape. Forme indéterminée 0 sur 0: appliquer la règle de L’Hôpital. Dériver séparément le numérateur et le dénominateur (ce n’est pas la dérivée d’un quotient). Forme indéterminée 0 sur 0: appliquer la règle de L’Hôpital. Dériver séparément le numérateur et le dénominateur (ce n’est pas la dérivée d’un quotient). Forme indéterminée 0 sur 0: appliquer la règle de L’Hôpital. Dériver séparément le numérateur et le dénominateur (ce n’est pas la dérivée d’un quotient). Substitution directe. L’expression est continue en x égale 0: la limite est donc égale à sa valeur en ce point.

La réponse. La réponse est donc Limite égale 1 sur 2 environ 0.5. Une limite décrit la valeur dont une fonction s’approche, pas nécessairement la valeur qu’elle prend. Lorsque la substitution donne une forme indéterminée, l’expression est réécrite (règle de L’Hôpital, quantité conjuguée ou logarithmes) jusqu’à ce que la substitution fonctionne.

Vérification. Valeurs numériques par la droite: f(0.01) égale 0.5000125, f(0.001) égale 0.50000013, f(0.0001) égale 0.5, f(0.00001) égale 0.50000016 (pas de tendance claire à cette précision). Valeurs numériques par la gauche: f(moins 0.01) égale 0.5000125, f(moins 0.001) égale 0.50000013, f(moins 0.0001) égale 0.5, f(moins 0.00001) égale 0.50000016 (pas de tendance claire à cette précision).

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