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Résoudre un problème
LimitesAnalyseUniversité≈ 2:09

Trouver lim x→1 ln(x)/(x-1)

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: Limite = 1.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.8 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    lim⁡x→1ln⁡(x)x−1\lim_{x \to 1} \frac{\ln\left( x\right)}{x-1}
  2. 2. Étape par étape
    1. lim⁡x→1ln⁡(x)x−1=lim⁡x→11x1\lim_{x \to 1} \frac{\ln\left( x\right)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}
      Forme indéterminée 0/0 : appliquer la règle de L’Hôpital
    2. lim⁡x→11x1=lim⁡x→11x\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x}
      Simplifier
    3. lim⁡x→11x=11=1\lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1
      Substitution directe
  3. 3. La réponse
    lim⁡x→1ln⁡(x)x−1=1\lim_{x \to 1} \frac{\ln\left( x\right)}{x-1} = 1

    lim x→1 ln(x) / (x - 1) = 1

  4. 4. Vérification
    • Les valeurs numériques à droite concordent : f(1.01) = 0.99503309, f(1.001) = 0.99950033, f(1.0001) = 0.99995, f(1.00001) = 0.999995 ✓
    • Les valeurs numériques à gauche concordent : f(0.99) = 1.0050336, f(0.999) = 1.0005003, f(0.9999) = 1.00005, f(0.99999) = 1.000005 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver lim x- supérieur à 1 ln(x)/(x moins 1). Calculer la limite de ln(x) / (x moins 1) quand x → 1.

Étape par étape. Forme indéterminée 0 sur 0: appliquer la règle de L’Hôpital. Dériver séparément le numérateur et le dénominateur (ce n’est pas la dérivée d’un quotient). Simplifier. Substitution directe. L’expression est continue en x égale 1: la limite est donc égale à sa valeur en ce point.

La réponse. La réponse est donc Limite égale 1. Une limite décrit la valeur dont une fonction s’approche, pas nécessairement la valeur qu’elle prend. Lorsque la substitution donne une forme indéterminée, l’expression est réécrite (règle de L’Hôpital, quantité conjuguée ou logarithmes) jusqu’à ce que la substitution fonctionne.

Vérification. Les valeurs numériques à droite concordent: f(1.01) égale 0.99503309, f(1.001) égale 0.99950033, f(1.0001) égale 0.99995, f(1.00001) égale 0.999995, ce qui est vérifié. Les valeurs numériques à gauche concordent: f(0.99) égale 1.0050336, f(0.999) égale 1.0005003, f(0.9999) égale 1.00005, f(0.99999) égale 1.000005, ce qui est vérifié.

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