LimitesAnalyseUniversité≈ 2:19

Trouver lim x→∞ x⁴e^(-x)

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
$\lim_{x \to \infty} {x}^{4} {e}^{- x}$
2. Étapes, partie 1
1. $\lim_{x \to \infty} {x}^{4} {e}^{- x} = \lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{4}}{{e}^{x}}$
  Forme indéterminée 0·∞ : réécrire sous forme de quotient
2. $\lim_{x \to \infty} \frac{{x}^{4}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4{x}^{3}}{{e}^{x}}$
  Forme indéterminée ∞/∞ : appliquer la règle de L’Hôpital
3. $\lim_{x \to \infty} \frac{4{x}^{3}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{12{x}^{2}}{{e}^{x}}$
  Forme indéterminée ∞/∞ : appliquer la règle de L’Hôpital
4. $\lim_{x \to \infty} \frac{12{x}^{2}}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}}$
  Forme indéterminée ∞/∞ : appliquer la règle de L’Hôpital
3. Étapes, partie 2
1. $\lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}}$
  Simplifier
2. $\lim_{x \to \infty} \frac{24x}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}}$
  Forme indéterminée ∞/∞ : appliquer la règle de L’Hôpital
3. $\lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}}$
  Simplifier
4. $\lim_{x \to \infty} \frac{24}{{e}^{x}} = 0$
  Numérateur borné sur un dénominateur non borné
4. La réponse
$\lim_{x \to \infty} {x}^{4} {e}^{- x} = 0$
lim x→∞ x⁴ e^(-x) = 0
5. Vérification
- Les valeurs numériques quand x grandit concordent : f(127.18281) = 0, f(1271.8281) = 0, f(12718.281) = 0, f(127182.81) = 0 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver lim x- supérieur à l prime infini x puissance 4e puissance moins x. Calculer la limite de x puissance 4 e puissance moins x quand x → ∞.

Étapes, partie 1. Forme indéterminée 0 fois ∞: réécrire sous forme de quotient. Faire passer un facteur au dénominateur sous forme d’inverse transforme 0 fois ∞ en 0 sur 0 ou ∞/∞. Forme indéterminée ∞/∞: appliquer la règle de L’Hôpital. Dériver séparément le numérateur et le dénominateur (ce n’est pas la dérivée d’un quotient). Forme indéterminée ∞/∞: appliquer la règle de L’Hôpital. Dériver séparément le numérateur et le dénominateur (ce n’est pas la dérivée d’un quotient). Forme indéterminée ∞/∞: appliquer la règle de L’Hôpital. Dériver séparément le numérateur et le dénominateur (ce n’est pas la dérivée d’un quotient).

Étapes, partie 2. Simplifier. Forme indéterminée ∞/∞: appliquer la règle de L’Hôpital. Dériver séparément le numérateur et le dénominateur (ce n’est pas la dérivée d’un quotient). Simplifier. Numérateur borné sur un dénominateur non borné. Le numérateur tend vers 24 et le dénominateur croît sans limite, donc le quotient tend vers 0.

La réponse. La réponse est donc Limite égale 0. Une limite décrit la valeur dont une fonction s’approche, pas nécessairement la valeur qu’elle prend. Lorsque la substitution donne une forme indéterminée, l’expression est réécrite (règle de L’Hôpital, quantité conjuguée ou logarithmes) jusqu’à ce que la substitution fonctionne.

Vérification. Les valeurs numériques quand x grandit concordent: f(127.18281) égale 0, f(1271.8281) égale 0, f(12718.281) égale 0, f(127182.81) égale 0, ce qui est vérifié.

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