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Résoudre un problème
LimitesAnalyseUniversité≈ 2:20

Trouver lim x→∞ (1+3/x)ˣ

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: Limite = e³ ≈ 20.08553692.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.8 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    lim⁡x→∞(1+3x)x\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{3}{x}\right)}^{x}
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. lim⁡x→∞(1+3x)x=e lim⁡x→∞[xln⁡(1+3x)]\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{3}{x}\right)}^{x} = e^{\,\lim_{x \to \infty} \left[ x \ln\left(1+\frac{3}{x}\right)\right]}
      Forme indéterminée 1^∞ : passer au logarithme
    2. lim⁡x→∞xln⁡(1+3x)=lim⁡x→∞ln⁡(1+3x)1x\lim_{x \to \infty} x \ln\left(1+\frac{3}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)}{\frac{1}{x}}
      Forme indéterminée 0·∞ : réécrire sous forme de quotient
    3. lim⁡x→∞ln⁡(1+3x)1x=lim⁡x→∞−3x23x+1−1x2\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{3}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{3}{{x}^{2}}}{\frac{3}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}
      Forme indéterminée 0/0 : appliquer la règle de L’Hôpital
    4. lim⁡x→∞−3x23x+1−1x2=lim⁡x→∞33x+1\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{3}{{x}^{2}}}{\frac{3}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3}{\frac{3}{x}+1}
      Simplifier
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. lim⁡x→∞33x+1=lim⁡t→033t+1=3\lim_{x \to \infty} \frac{3}{\frac{3}{x}+1} = \lim_{t \to 0} \frac{3}{3\mathrm{t}+1} = 3
      Substituer x = 1/t (t → 0⁺)
    2. lim⁡x→∞(1+3x)x=e3=e3\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{3}{x}\right)}^{x} = e^{3} = {e}^{3}
      Appliquer l’exponentielle au résultat
  4. 4. La réponse
    lim⁡x→∞(1+3x)x=e3≈20.08553692\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{3}{x}\right)}^{x} = {e}^{3} \approx 20.08553692

    lim x→∞ (1 + 3 / x)^x = e³ ≈ 20.08553692

  5. 5. Vérification
    • Les valeurs numériques quand x grandit concordent : f(127.18281) = 19.397896, f(1271.8281) = 20.014707, f(12718.281) = 20.078433, f(127182.81) = 20.084826 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver lim x- supérieur à l prime infini (1 plus 3/x) puissance x. Calculer la limite de (1 plus 3 / x) puissance x quand x → ∞.

Étapes, partie 1. Forme indéterminée 1^∞: passer au logarithme. Écrire la puissance sous la forme e puissance exposant fois ln base); comme eᵘ est continue, la limite est e élevé à la limite de l’exposant. Forme indéterminée 0 fois ∞: réécrire sous forme de quotient. Faire passer un facteur au dénominateur sous forme d’inverse transforme 0 fois ∞ en 0 sur 0 ou ∞/∞. Forme indéterminée 0 sur 0: appliquer la règle de L’Hôpital. Dériver séparément le numérateur et le dénominateur (ce n’est pas la dérivée d’un quotient). Simplifier.

Étapes, partie 2. Substituer x égale 1/t (t → 0 puissance plus ). Appliquer l’exponentielle au résultat.

La réponse. La réponse est donc Limite égale e au cube environ 20.08553692. Une limite décrit la valeur dont une fonction s’approche, pas nécessairement la valeur qu’elle prend. Lorsque la substitution donne une forme indéterminée, l’expression est réécrite (règle de L’Hôpital, quantité conjuguée ou logarithmes) jusqu’à ce que la substitution fonctionne.

Vérification. Les valeurs numériques quand x grandit concordent: f(127.18281) égale 19.397896, f(1271.8281) égale 20.014707, f(12718.281) égale 20.078433, f(127182.81) égale 20.084826, ce qui est vérifié.

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