Aller au contenu
MathSolver Pro
  • Ouvrir le solveur
  • Demander au tuteur IA
  • Trouver un cours AP
  • Créer un quiz
  • Ouvrir la calculatrice
  • Calculatrice graphique
  • Voir toutes les calculatrices
  • Lire les guides de maths
↑ ↓Entrée pour ouvrir · Échap pour fermer
Résoudre un problème
LimitesAnalyseUniversité≈ 2:09

Trouver lim x→∞ √(x²+x) - x

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: Limite = 1/2 ≈ 0.5.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.8 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    lim⁡x→∞x2+x−x\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x
  2. 2. Étape par étape
    1. lim⁡x→∞x2+x−x=lim⁡x→∞x2+x2−x2x2+x+x\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x = \lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{{x}^{2}+ x}}^{2}-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}+ x}
      Forme indéterminée ∞ − ∞ : réécrire
    2. lim⁡x→∞x2+x2−x2x2+x+x=lim⁡x→∞12x+12x2+x+1\lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{{x}^{2}+ x}}^{2}-{x}^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}+ x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\frac{2x+1}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}}+1}
      Forme indéterminée ∞/∞ : appliquer la règle de L’Hôpital
    3. lim⁡x→∞12x+12x2+x+1=0.5\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{\frac{2x+1}{2}}{\sqrt{{x}^{2}+ x}}+1} = 0.5
      Évaluer le comportement limite
    4. lim⁡x→∞x2+x−x=12\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x = \frac{1}{2}
      Identifier la valeur
  3. 3. La réponse
    lim⁡x→∞x2+x−x=12\lim_{x \to \infty} \sqrt{{x}^{2}+ x}- x = \frac{1}{2}

    lim x→∞ sqrt(x² + x) - x = 1/2 ≈ 0.5

  4. 4. Vérification
    • Les valeurs numériques quand x grandit concordent : f(127.18281) = 0.49902101, f(1271.8281) = 0.49990175, f(12718.281) = 0.49999017, f(127182.81) = 0.49999902 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : Trouver lim x- supérieur à l prime infini sqrt(x au carré plus x) moins x. Calculer la limite de sqrt(x au carré plus x) moins x quand x → ∞.

Étape par étape. Forme indéterminée ∞ moins ∞: réécrire. Multiplier par la quantité conjuguée: (u moins v)(u plus v)/(u plus v) égale (u au carré moins v au carré)/(u plus v). Forme indéterminée ∞/∞: appliquer la règle de L’Hôpital. Dériver séparément le numérateur et le dénominateur (ce n’est pas la dérivée d’un quotient). Évaluer le comportement limite. Le comportement dominant de chaque terme détermine la limite. Identifier la valeur. L prime expression réécrite tend vers 0.5, ce qui équivaut à 1 sur 2 à 10 puissance moins 6 près; les valeurs numériques convergentes ci-dessous le confirment.

La réponse. La réponse est donc Limite égale 1 sur 2 environ 0.5. Une limite décrit la valeur dont une fonction s’approche, pas nécessairement la valeur qu’elle prend. Lorsque la substitution donne une forme indéterminée, l’expression est réécrite (règle de L’Hôpital, quantité conjuguée ou logarithmes) jusqu’à ce que la substitution fonctionne.

Vérification. Les valeurs numériques quand x grandit concordent: f(127.18281) égale 0.49902101, f(1271.8281) égale 0.49990175, f(12718.281) égale 0.49999017, f(127182.81) égale 0.49999902, ce qui est vérifié.

D’autres leçons comme celle-ci

Trouver lim x→∞ √(x²+x) - x : leçon vidéo pas à pas