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Résoudre un problème
Équations polynomialesAlgèbreLycée≈ 1:13

Résoudre x³ + x + 1 = 0

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: x = -0.6823278; complexe: 0.3411639 ± 1.1615414i.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.4 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    x3+x+1=0{ x}^{3}+ x+1 = 0
  2. 2. Étape par étape
    1. x3+x+1=0{ x}^{3}+ x+1 = 0
      Partir de l’équation
    2. x3+x+1=0x^{3} + x + 1 = 0
      Passer tous les termes dans un même membre
    3. Plus de racines rationnelles ; approximer numériquement les 3 racines restantes
    4. x=−0.6823278x = -0.6823278
      Rassembler les solutions réelles
  3. 3. Sur le graphique
    -4-3-2-1123-50-40-30-20-1010203040x = -0.6823278
    Chaque solution est un point où le graphique coupe zéro.
  4. 4. La réponse
    x=−0.6823278x = -0.6823278

    x = -0.6823278

  5. 5. Vérification
    • x = -0.6823278 : membre de gauche = 0, membre de droite = 0 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : x au cube plus x plus 1 égale 0. Équation polynomiale de degré 3 en x.

Étape par étape. Partir de l’équation. Passer tous les termes dans un même membre. Plus de racines rationnelles; approximer numériquement les 3 racines restantes. La méthode de Durand-Kerner itère sur toutes les racines simultanément jusqu’à ce qu’elles ne changent plus. Rassembler les solutions réelles.

Sur le graphique. Regardons maintenant le graphique du membre de gauche moins le membre de droite. Il coupe zéro exactement aux solutions trouvées.

La réponse. La réponse est donc x égale moins 0.6823278; complexe: 0.3411639 plus ou moins 1.1615414i. Un polynôme de degré 3 a exactement 3 racines comptées avec leur multiplicité (certaines peuvent être complexes). Les racines rationnelles exactes sont cherchées d’abord, puis les autres sont calculées exactement ou approchées.

Vérification. x égale moins 0.6823278: membre de gauche égale 0, membre de droite égale 0, ce qui est vérifié.

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