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Résoudre un problème
Équations polynomialesAlgèbreLycée≈ 1:39

Résoudre x⁴ = 16

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: x = -2, x = 2; complexe: ±2i.

Vidéo enregistrée : la voix et l'écriture à l'écran sont en anglais. Sous-titres : Français. Pour une narration dans cette langue, ouvrez la version interactive.

Vidéo en anglais : Télécharger MP4 (0.6 MB) · Sous-titres (WebVTT) : Français · Sous-titres anglais (WebVTT)

Étapes à l’écran

  1. 1. Le problème
    Exemple résolu
    x4=16{ x}^{4} = 16
  2. 2. Étapes, partie 1
    1. x4=16{ x}^{4} = 16
      Partir de l’équation
    2. x4−16=0x^{4} - 16 = 0
      Passer tous les termes dans un même membre
    3. x3−2x2+4x−8=0x^{3} - 2x^{2} + 4x - 8 = 0
      Tester les candidats donnés par le théorème des racines rationnelles : x = -2 est une racine
    4. x2+4=0x^{2} + 4 = 0
      Tester les candidats donnés par le théorème des racines rationnelles : x = 2 est une racine
  3. 3. Étapes, partie 2
    1. x2+4=0x^{2} + 4 = 0
      Résoudre l’équation du second degré restante
    2. Δ=b2−4ac=02−4⋅1⋅4=−16\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -16
      Calculer le discriminant
    3. Δ < 0, donc il n’y a pas de racine réelle ; les deux racines sont complexes conjuguées
    4. x=0±−162=0±4 i2x = \frac{0 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{0 \pm 4\,i}{2}
      Appliquer les formules des racines avec √(−1) = i
  4. 4. Étapes, partie 3
    1. x=±2ix = \pm 2i
      Simplifier
    2. x=−2,x=2x = -2,\quad x = 2
      Rassembler les solutions réelles
  5. 5. Sur le graphique
    -5-4-3-2-112345-20-101020304050x = -2x = 2
    Chaque solution est un point où le graphique coupe zéro.
  6. 6. La réponse
    x=−2, x=2x = -2,\ x = 2

    x = -2, x = 2

  7. 7. Vérification
    • x = -2 : membre de gauche = 16, membre de droite = 16 ✓
    • x = 2 : membre de gauche = 16, membre de droite = 16 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : x puissance 4 égale 16. Équation polynomiale de degré 4 en x.

Étapes, partie 1. Partir de l’équation. Passer tous les termes dans un même membre. Tester les candidats donnés par le théorème des racines rationnelles: x égale moins 2 est une racine. La division synthétique (méthode de Horner) par (x plus 2) laisse un polynôme de degré 3. Tester les candidats donnés par le théorème des racines rationnelles: x égale 2 est une racine. La division synthétique (méthode de Horner) par (x moins 2) laisse un polynôme de degré 2.

Étapes, partie 2. Résoudre l’équation du second degré restante. Calculer le discriminant. delta inférieur à 0, donc il n’y a pas de racine réelle; les deux racines sont complexes conjuguées. Appliquer les formules des racines avec la racine carrée de moins 1 égale i.

Étapes, partie 3. Simplifier. Rassembler les solutions réelles.

Sur le graphique. Regardons maintenant le graphique du membre de gauche moins le membre de droite. Il coupe zéro exactement aux solutions trouvées.

La réponse. La réponse est donc x égale moins 2, x égale 2; complexe: plus ou moins 2i. Un polynôme de degré 4 a exactement 4 racines comptées avec multiplicité (certaines peuvent être complexes). Les racines rationnelles exactes sont trouvées en premier, puis les autres sont résolues exactement ou approximées.

Vérification. x égale moins 2: membre de gauche égale 16, membre de droite égale 16, ce qui est vérifié. x égale 2: membre de gauche égale 16, membre de droite égale 16, ce qui est vérifié.

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