Équations polynomialesAlgèbreLycée≈ 1:40

Résoudre x⁶ - 64 = 0

Une leçon animée pas à pas. Appuyez sur Lecture pour voir chaque étape avec sous-titres, ou lisez les étapes et la transcription ci-dessous. Réponse: x = -2, x = 2; complexe: 1 ± 1.7320508i, -1 ± 1.7320508i.

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Étapes à l’écran

1. Le problème
Exemple résolu
${ x}^{6}-64 = 0$
2. Étapes, partie 1
1. ${ x}^{6}-64 = 0$
  Partir de l’équation
2. $x^{6} - 64 = 0$
  Passer tous les termes dans un même membre
3. $x^{5} - 2x^{4} + 4x^{3} - 8x^{2} + 16x - 32 = 0$
  Tester les candidats donnés par le théorème des racines rationnelles : x = -2 est une racine
4. $x^{4} + 4x^{2} + 16 = 0$
  Tester les candidats donnés par le théorème des racines rationnelles : x = 2 est une racine
3. Étapes, partie 2
1. Plus de racines rationnelles ; approximer numériquement les 4 racines restantes
2. $x = -2,\quad x = 2$
  Rassembler les solutions réelles
4. Sur le graphique
Chaque solution est un point où le graphique coupe zéro.
5. La réponse
$x = -2,\ x = 2$
x = -2, x = 2
6. Vérification
- x = -2 : membre de gauche = 0, membre de droite = 0 ✓
- x = 2 : membre de gauche = 0, membre de droite = 0 ✓

Transcription

Le problème. Voici le problème : x puissance 6 moins 64 égale 0. Équation polynomiale de degré 6 en x.

Étapes, partie 1. Partir de l’équation. Passer tous les termes dans un même membre. Tester les candidats donnés par le théorème des racines rationnelles: x égale moins 2 est une racine. La division synthétique (méthode de Horner) par (x plus 2) laisse un polynôme de degré 5. Tester les candidats donnés par le théorème des racines rationnelles: x égale 2 est une racine. La division synthétique (méthode de Horner) par (x moins 2) laisse un polynôme de degré 4.

Étapes, partie 2. Plus de racines rationnelles; approximer numériquement les 4 racines restantes. La méthode de Durand-Kerner itère sur toutes les racines simultanément jusqu’à ce qu’elles ne changent plus. Rassembler les solutions réelles.

Sur le graphique. Regardons maintenant le graphique du membre de gauche moins le membre de droite. Il coupe zéro exactement aux solutions trouvées.

La réponse. La réponse est donc x égale moins 2, x égale 2; complexe: 1 plus ou moins 1.7320508i, moins 1 plus ou moins 1.7320508i. Un polynôme de degré 6 a exactement 6 racines comptées avec multiplicité (certaines peuvent être complexes). Les racines rationnelles exactes sont trouvées en premier, puis les autres sont résolues exactement ou approximées.

Vérification. x égale moins 2: membre de gauche égale 0, membre de droite égale 0, ce qui est vérifié. x égale 2: membre de gauche égale 0, membre de droite égale 0, ce qui est vérifié.

Étapes à l’écran

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