1/n का n=1 से ∞ तक योग ज्ञात करें

प्रश्न. यह रहा प्रश्न: 1/n का n बराबर 1 से अनंत तक योग ज्ञात करें. तय करें कि 1 से ∞) तक Σ 1 / n (n अभिसरित होती है या अपसरित।

चरण दर चरण. श्रेणी लिखें. n बराबर 1, 2, 3, … के लिए Σ a(n), जहाँ a(n) बराबर 1 / n। पहले पद: 1, 0.5, 0.333333, 0.25, …. n-वाँ पद परीक्षण. lim a(n) बराबर 0, इसलिए अपसरण परीक्षण से कोई निष्कर्ष नहीं निकलता; पद घटते तो हैं, इसलिए अधिक सूक्ष्म परीक्षण चाहिए। p-श्रेणी से सीमा तुलना. धनात्मक पद: पद लगभग 1/n की तरह घटते हैं ( a(2N)/a(N)) से अनुमानित, इसलिए Σ 1/n से तुलना करें: lim a(n) गुणा n बराबर 1। सीमा एक धनात्मक परिमित संख्या है, इसलिए श्रेणी बिल्कुल p-श्रेणी Σ 1/n की तरह व्यवहार करती है, जो अपसरित होती है क्योंकि p से कम या बराबर 1।

उत्तर. तो उत्तर है श्रेणी अपसारी है (इसके साथ सीमा तुलना Σ 1/n). श्रेणी तब अभिसरित होती है जब उसके आंशिक योग किसी परिमित संख्या के निकट पहुँचें। इसके लिए पदों का 0 की ओर जाना ज़रूरी है, पर केवल इतना पर्याप्त नहीं (हरात्मक श्रेणी अपसरित होती है), इसलिए निर्णय के लिए तुलना, अनुपात, मूल, एकांतर या समाकल परीक्षण का उपयोग होता है।

जाँच. आंशिक योग (सहायक प्रमाण, उपपत्ति नहीं): S₁₀ बराबर 2.9289683, S₁₀₀ बराबर 5.1873775, S₁₀₀₀ बराबर 7.4854709, S₁₀₀₀₀ बराबर 9.787606.