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सीमाकलनकॉलेज≈ 2:54

lim x→0 (1 + x)^(1/x) ज्ञात करें

एक एनिमेटेड चरण-दर-चरण पाठ। हर चरण कैप्शन के साथ देखने के लिए चलाएँ दबाएँ, या नीचे चरण और ट्रांसक्रिप्ट पढ़ें। उत्तर: सीमा = e ≈ 2.718281828.

रिकॉर्ड किया गया वीडियो: आवाज़ और चित्र में लिखावट अंग्रेज़ी में है। उपशीर्षक: हिन्दी। इस भाषा में वर्णन के लिए, इंटरैक्टिव संस्करण खोलें।

अंग्रेज़ी वीडियो: MP4 डाउनलोड करें (1.1 MB) · उपशीर्षक (WebVTT): हिन्दी · अंग्रेज़ी कैप्शन (WebVTT)

स्क्रीन पर चरण

  1. 1. प्रश्न
    हल किया गया उदाहरण
    lim⁡x→0(1+x)1x\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}}
  2. 2. चरण, भाग 1
    1. lim⁡x→0(1+x)1x=e lim⁡x→0[1xln⁡(1+x)]\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e^{\,\lim_{x \to 0} \left[\frac{1}{x} \ln\left(1+ x\right)\right]}
      अनिर्धार्य रूप 1^∞ — लघुगणक लें
    2. lim⁡x→01xln⁡(1+x)=lim⁡x→0ln⁡(x+1)x\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(1+ x\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x+1\right)}{x}
      अनिर्धार्य रूप 0·∞ — भागफल के रूप में लिखें
    3. lim⁡x→0ln⁡(x+1)x=lim⁡x→01x+11\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( x+1\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1}
      अनिर्धार्य रूप 0/0 — लोपिताल नियम लगाएँ
    4. lim⁡x→01x+11=lim⁡x→01x+1\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x+1}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1}
      सरल करें
  3. 3. चरण, भाग 2
    1. lim⁡x→01x+1=10+1=1\lim_{x \to 0} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{0+1} = 1
      सीधा प्रतिस्थापन
    2. lim⁡x→0(1+x)1x=e1=e\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e^{1} = e
      परिणाम पर घातांक लगाएँ
  4. 4. उत्तर
    lim⁡x→0(1+x)1x=e≈2.718281828\lim_{x \to 0} {\left(1+ x\right)}^{\frac{1}{x}} = e \approx 2.718281828

    lim x→0 (1 + x)^(1 / x) = e ≈ 2.718281828

  5. 5. जाँच
    • दाईं ओर से संख्यात्मक मान मेल खाते हैं: f(0.01) = 2.7048138, f(0.001) = 2.7169239, f(0.0001) = 2.7181459, f(0.00001) = 2.7182682 ✓
    • बाईं ओर से संख्यात्मक मान मेल खाते हैं: f(-0.01) = 2.731999, f(-0.001) = 2.7196422, f(-0.0001) = 2.7184178, f(-0.00001) = 2.7182954 ✓

ट्रांसक्रिप्ट

प्रश्न. यह रहा प्रश्न: lim x- से अधिक 0 (1 जमा x) की घात 1/x) ज्ञात करें. जब x → 0, तब (1 जमा x) की घात 1 / x) की सीमा निकालें।

चरण, भाग 1. अनिर्धार्य रूप 1^∞ — लघुगणक लें. घात को e^(घातांक गुणा ln आधार) के रूप में लिखें; चूँकि eᵘ संतत है, सीमा e की वह घात है जो घातांक की सीमा है। अनिर्धार्य रूप 0 गुणा ∞ — भागफल के रूप में लिखें. एक गुणनखंड को उसके व्युत्क्रम के रूप में हर में ले जाने से 0 गुणा ∞ बदलकर 0 बटा 0 या ∞/∞ बन जाता है। अनिर्धार्य रूप 0 बटा 0 — लोपिताल नियम लगाएँ. अंश और हर का अलग-अलग अवकलन करें (यह भागफल नियम नहीं है)। सरल करें.

चरण, भाग 2. सीधा प्रतिस्थापन. व्यंजक x बराबर 0 पर संतत है, इसलिए सीमा वहाँ उसके मान के बराबर है। परिणाम पर घातांक लगाएँ.

उत्तर. तो उत्तर है सीमा बराबर e लगभग 2.718281828. सीमा वह मान बताती है जिसके पास फलन पहुँचता है, ज़रूरी नहीं कि वह मान जो फलन लेता है। जब प्रतिस्थापन से अनिर्धार्य रूप मिलता है, तो व्यंजक को (लोपिताल नियम, संयुग्मी या लघुगणक से) तब तक दोबारा लिखा जाता है जब तक प्रतिस्थापन काम न करे।

जाँच. दाईं ओर से संख्यात्मक मान मेल खाते हैं: f(0.01) बराबर 2.7048138, f(0.001) बराबर 2.7169239, f(0.0001) बराबर 2.7181459, f(0.00001) बराबर 2.7182682, जो सही है. बाईं ओर से संख्यात्मक मान मेल खाते हैं: f(ऋण 0.01) बराबर 2.731999, f(ऋण 0.001) बराबर 2.7196422, f(ऋण 0.0001) बराबर 2.7184178, f(ऋण 0.00001) बराबर 2.7182954, जो सही है.

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