İçeriğe geç
MathSolver Pro
  • Matematik çözücüyü aç
  • Yapay zekâ öğretmene sor
  • AP dersi bul
  • Test oluştur
  • Hesap makinesini aç
  • Grafik hesap makinesi
  • Tüm hesaplayıcılar
  • Matematik rehberlerini oku
↑ ↓Açmak için Enter · Kapatmak için Esc
Problem çöz
LimitlerAnalizÜniversite≈ 2:20

lim x→∞ (1+1/x)ˣ bul

Animasyonlu adım adım bir ders. Her adımı altyazıyla izlemek için Oynat’a basın ya da aşağıdaki adımları ve dökümü okuyun. Cevap: Limit = e ≈ 2.718281828.

Kaydedilmiş video: ses ve görüntüdeki yazılar İngilizcedir. Altyazı: Türkçe. Bu dilde anlatım için etkileşimli sürümü açın.

İngilizce video: MP4 indir (0.8 MB) · Altyazılar (WebVTT): Türkçe · İngilizce altyazılar (WebVTT)

Ekrandaki adımlar

  1. 1. Problem
    Çözümlü örnek
    lim⁡x→∞(1+1x)x\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x}
  2. 2. Adımlar, bölüm 1
    1. lim⁡x→∞(1+1x)x=e lim⁡x→∞[xln⁡(1+1x)]\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x} = e^{\,\lim_{x \to \infty} \left[ x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]}
      Belirsiz biçim 1^∞ — logaritma alın
    2. lim⁡x→∞xln⁡(1+1x)=lim⁡x→∞ln⁡(1+1x)1x\lim_{x \to \infty} x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}
      Belirsiz biçim 0·∞ — bölüm olarak yeniden yazın
    3. lim⁡x→∞ln⁡(1+1x)1x=lim⁡x→∞−1x21x+1−1x2\lim_{x \to \infty} \frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{\frac{1}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}
      Belirsiz biçim 0/0 — L'Hôpital kuralını uygulayın
    4. lim⁡x→∞−1x21x+1−1x2=lim⁡x→∞11x+1\lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{\frac{1}{{x}^{2}}}{\frac{1}{x}+1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x}+1}
      Sadeleştirin
  3. 3. Adımlar, bölüm 2
    1. lim⁡x→∞11x+1=lim⁡t→01t+1=1\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x}+1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{\mathrm{t}+1} = 1
      Yerine koyun: x = 1/t (t → 0⁺)
    2. lim⁡x→∞(1+1x)x=e1=e\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x} = e^{1} = e
      Sonucun üstelini alın
  4. 4. Cevap
    lim⁡x→∞(1+1x)x=e≈2.718281828\lim_{x \to \infty} {\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x} = e \approx 2.718281828

    lim x→∞ (1 + 1 / x)^x = e ≈ 2.718281828

  5. 5. Kontrol
    • x büyüdükçe sayısal değerler uyuşuyor: f(127.18281) = 2.7076718, f(1271.8281) = 2.7172139, f(12718.281) = 2.718175, f(127182.81) = 2.7182711 ✓

Döküm

Problem. İşte problem: lim x- büyüktür sonsuz (1 artı 1/x) üssü x bul. Şu fonksiyonun limitini bulun: (1 artı 1 / x) üssü x. Koşul: x → ∞.

Adımlar, bölüm 1. Belirsiz biçim 1^∞ — logaritma alın. Kuvveti e^(üs çarpı ln taban) olarak yazın; eᵘ sürekli olduğundan limit, e sayısının üssün limiti kadar kuvvetidir. Belirsiz biçim 0 çarpı ∞ — bölüm olarak yeniden yazın. Çarpanlardan birini çarpmaya göre tersi olarak paydaya taşımak 0 çarpı ∞ biçimini 0 bölü 0 veya ∞/∞ biçimine dönüştürür. Belirsiz biçim 0 bölü 0 — L üssü Hôpital kuralını uygulayın. Payın ve paydanın türevini ayrı ayrı alın (bu, bölüm kuralı değildir). Sadeleştirin.

Adımlar, bölüm 2. Yerine koyun: x eşittir 1/t (t → 0 üssü artı ). Sonucun üstelini alın.

Cevap. Yani cevap: Limit eşittir e yaklaşık 2.718281828. Limit, bir fonksiyonun mutlaka aldığı değeri değil, yaklaştığı değeri tanımlar. Yerine koyma belirsiz bir biçim verdiğinde ifade, yerine koyma işe yarayana kadar yeniden yazılır (L üssü Hôpital kuralı, eşlenik veya logaritma).

Kontrol. x büyüdükçe sayısal değerler uyuşuyor: f(127.18281) eşittir 2.7076718, f(1271.8281) eşittir 2.7172139, f(12718.281) eşittir 2.718175, f(127182.81) eşittir 2.7182711, bu doğrulanır.

Benzer dersler

lim x→∞ (1+1/x)ˣ bul — adım adım video ders