Denklem Çözücü

Q: Üçüncü dereceden denklemler nasıl çözülür?

Hesap makinesi olası rasyonel kökleri p/q dener, bulunan her köke göre Horner yöntemiyle böler ve kalanı çözer. Kalan irrasyonel kökler sayısal olarak bulunur.

Q: Bir polinom denkleminin kaç çözümü olabilir?

n. dereceden bir polinom denkleminin en fazla n gerçek çözümü ve katlılıkla birlikte tam olarak n karmaşık çözümü vardır. Dördüncü dereceden x^4 - 5x^2 + 4 = 0 denkleminin dört gerçek çözümü vardır: -2, -1, 1 ve 2.

Q: Rasyonel kök teoremi ne işe yarar?

Olası rasyonel kökleri, p sabit terimi ve q başkatsayıyı bölen p/q kesirleriyle sınırlar. Böylece tahmin yürütmek yerine denenecek kısa bir aday listesi elde edersiniz.

Denklem çözücü hakkında

Bir denklem çözücünün önce karşısındaki problemin türünü anlaması gerekir. Doğrusal bir denklem ters işlemler, ikinci dereceden bir denklem kök formülü ister; üçüncü veya dördüncü dereceden bir denklem ise rasyonel kök teoremiyle çözümlenebilir.

Hesap makinesi mümkün olduğunda ifadeleri tek bir polinoma indirger ve onu kesin olarak çözer. $2^x = 32$ veya $\sin x = 0.5$ gibi denklemlerde gerçek çözümleri sayısal olarak bulur ve belirli bir aralıktakileri listeler. Eşittir işareti yoksa ifadeyi sadeleştirir veya hesaplar.

Denklem çözücü nedir?

Denklem çözücü, tek bilinmeyenli bir denklemi alır ve onu sağlayan bütün değerleri, kullanılan yöntemle birlikte verir. Yöntem denklemin türüne bağlıdır. $5x - 3 = 12$ gibi doğrusal bir denkleme ters işlemler yeter. $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ gibi bir polinom denklemi kökleri birer birer bulmayı gerektirir. $2^x = 32$ denkleminde bilinmeyen üstte yer alır ve farklı bir yolla çözülür.

Hesap makinesi önce denklemi sıfıra eşit tek bir ifade olarak yazar ve bu ifadenin bir polinom olup olmadığını kontrol eder. Polinomsa kökler kesin olarak bulunur; değilse gerçek kökler belirli bir aralıkta sayısal olarak aranır. Eşittir işareti olmayan bir ifade girerseniz hesap makinesi parantezleri açıp ifadeyi sadeleştirir: $(x + 3)^2$ , $x^2 + 6x + 9$ olur.

Denklem çözücü nasıl kullanılır?

x^3 − 6x^2 + 11x − 6 = 0 gibi bir denklem veya (x + 3)^2 gibi bir ifade girin.
Kuvvetler için ^, çarpma için * (sayı ile harf arasında yazılmayabilir) ve kökler için sqrt( ) kullanın.
«Çöz» düğmesine basın. Yorum satırı seçilen yöntemi gösterir.

Formüller

Rasyonel kök teoremi

a_n x^n + \cdots + a_0 = 0,\ x = \frac{p}{q} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n

Kök formülü

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Çarpan teoremi

P(r) = 0 \iff (x - r) \text{ şunu böler: } P(x)

Çözümlü örnek: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

Çözümlü örnekte $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ üçüncü dereceden denklemi çözülür. Rasyonel kök teoremine göre her rasyonel kök 6'yı bölmelidir; bu yüzden hesap makinesi $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ adaylarını dener. $x = 1$ kökünü bulur, karşılık gelen çarpana böler ve $x^2 - 5x + 6$ elde eder; ardından $x = 2$ kökünü bulur, geriye $x - 3$ kalır ve son olarak $x = 3$ bulunur. Her kökü ilk denklemde yerine koymak 0 verir; kontrol adımı da bunu doğrular.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

x = 1,\ x = 2,\ x = 3

Probleminizi nasıl okuduk

x değişkenine göre derecesi 3 olan bir polinom denklemi.

{x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0

Adım adım çözüm

Denklemle başlayın
${x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0$
Bütün terimleri tek tarafa taşıyın
$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0$
Rasyonel kök teoreminden gelen adayları deneyin: x = 1 bir köktür
(x - 1) ile sentetik bölme, derecesi 2 olan bir polinom bırakır.
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
Rasyonel kök teoreminden gelen adayları deneyin: x = 2 bir köktür
(x - 2) ile sentetik bölme, derecesi 1 olan bir polinom bırakır.
$x - 3 = 0$
Rasyonel kök teoreminden gelen adayları deneyin: x = 3 bir köktür
(x - 3) ile sentetik bölme, derecesi 0 olan bir polinom bırakır.
Gerçek çözümleri bir araya toplayın
$x = 1,\quad x = 2,\quad x = 3$

Kullanılan formüller

Rasyonel kök teoremi
$x = \frac{p}{q},\ p \mid a_0,\ q \mid a_n$

3. dereceden bir polinomun katlılıkla birlikte sayıldığında tam olarak 3 kökü vardır (bazıları karmaşık olabilir). Önce kesin rasyonel kökler bulunur, ardından geri kalanlar kesin olarak çözülür veya yaklaşık olarak hesaplanır.

Doğrulama

x = 1: sol taraf = 0, sağ taraf = 0 ✓
x = 2: sol taraf = 0, sağ taraf = 0 ✓
x = 3: sol taraf = 0, sağ taraf = 0 ✓

Ayrıntılı açıklama

Adım adım polinom denklemler

Çarpan teoremine göre $r$ , ancak ve ancak $x - r$ polinomun bir çarpanıysa polinomun köküdür. Bu yüzden bulunan her kök, hesap makinesinin polinomu Horner yöntemiyle $x - r$ ifadesine bölmesine ve dereceyi bir azaltmasına olanak tanır. Geriye ikinci dereceden bir üç terimli kaldığında diskriminant ve kök formülü işi kesin olarak tamamlar. Böylece dördüncü dereceden $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ denklemi dört köke ayrılır: $-2, -1, 1$ ve $2$ .

Kalan çarpanın rasyonel kökü yoksa gerçek kökleri yaklaşık olarak bulunur ve ≈ işaretiyle gösterilir; ikinci dereceden çarpanlar için karmaşık kökler de verilir.

Polinom olmayan denklemler

Üstel, logaritmik ve trigonometrik denklemlerde hesap makinesi denklemi $f(x) = 0$ biçiminde yazar, −100 ile 100 arasındaki aralığı $f$ fonksiyonunun işaret değiştirdiği noktaları bulmak için tarar ve her birini ikiye bölme yöntemiyle daraltır. $2^x = 32$ için $x \approx 5$ bulur ve yerine koyarak iki tarafın da 32'ye eşit olduğunu gösterir. Yalnızca bu aralık tarandığından hesap makinesi bunu adımlarda belirtir; $\sin x = 0.5$ gibi periyodik denklemlerin sonsuz sayıda çözümü vardır ve yalnızca aralıkta kalanlar gösterilir.

Sık yapılan hatalar

(2x)^2 kastederken 2x^2 yazmak; üs alma çarpmadan önce yapılır.
Üçüncü dereceden bir denklemden yalnızca bir çözüm beklemek; $n$ . dereceden bir polinomun $n$ taneye kadar gerçek kökü olabilir.
sin x ifadesini parantezsiz yazmak; sin(x) yazın.
İki tarafı $x$ içeren bir çarpana bölmek ve bu çarpanı sıfır yapan kökleri kaybetmek.
Çarpanlara ayırmadan önce bütün terimleri tek tarafa taşımayı unutmak.

İpuçları

Formüllere geçmeden önce her şeyi tek tarafa taşıyın ve ortak çarpanları dışarı alın.
Kaç gerçek kök beklemeniz gerektiğini görmek için grafik çizin.
Üstel denklemlerde iki tarafın aynı tabanın kuvvetleri olarak yazılıp yazılamayacağına bakın.
Bütün katsayıların toplamı 0 ise $x = 1$ bir köktür; çözümlü örnekte de durum budur.
Önce yorum satırını okuyun: girdinin nasıl anlaşıldığını ve hangi yöntemin kullanıldığını gösterir.
Örneğin $x$ ile bölmek yerine onu dışarı alın; $x^3 = 4x$ denkleminin iki değil, üç çözümü vardır.

Sıkça sorulan sorular

Hangi denklemleri çözer?

Doğrusal, ikinci dereceden ve her dereceden polinom denklemlerini, paydasında x bulunan rasyonel denklemleri ve üstel, logaritmik veya trigonometrik fonksiyonlar içeren tek değişkenli denklemleri (sayısal olarak) çözer.

Üçüncü dereceden denklemler nasıl çözülür?

Hesap makinesi olası rasyonel kökleri $\frac{p}{q}$ dener, bulunan her köke göre Horner yöntemiyle böler ve kalanı çözer. Kalan irrasyonel kökler sayısal olarak bulunur.

Çözümün yanında neden ≈ işareti var?

Yaklaşık eşitlik işareti, kökün kesin bir ifadesi olmadığı için yaklaşık 10 anlamlı basamakla sayısal olarak bulunduğunu gösterir.

Eşittir işareti olmayan bir ifade sadeleştirilebilir mi?

Evet. Parantezleri açıp sadeleştirmek için (x + 3)^2 gibi bir ifade, hesaplamak içinse sayısal bir ifade girin.

Karmaşık çözümleri bulur mu?

Karmaşık çözümler, ikinci dereceden denklemler için ve gerçek kökler ayrıldıktan sonra polinomlar için verilir. Polinom olmayan denklemler gerçek sayılar kümesinde çözülür.

Çözümler kontrol ediliyor mu?

Evet. Her çözüm ilk denklemde yerine konur ve artık değer kontrol bölümünde gösterilir.

Bir polinom denkleminin kaç çözümü olabilir?

$n$ . dereceden bir polinom denkleminin en fazla $n$ gerçek çözümü ve katlılıkla birlikte tam olarak $n$ karmaşık çözümü vardır. Dördüncü dereceden $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ denkleminin dört gerçek çözümü vardır: $-2, -1, 1$ ve $2$ .

Rasyonel kök teoremi ne işe yarar?

Olası rasyonel kökleri, $p$ sabit terimi ve $q$ başkatsayıyı bölen $\frac{p}{q}$ kesirleriyle sınırlar. Böylece tahmin yürütmek yerine denenecek kısa bir aday listesi elde edersiniz.

Bir ifade çözmeden sadeleştirilebilir mi?

Evet. Eşittir işareti koymayın; hesap makinesi çözmek yerine parantezleri açar ve benzer terimleri birleştirir. $(x + 3)^2$ girerseniz $x^2 + 6x + 9$ elde edilir.

Denklem çözücüyü deneyin

Bir denklem veya ifade girin; hangi yöntemin seçildiğini ve her çözümün nasıl kontrol edildiğini görün.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun