Çarpanlara Ayırma Hesap Makinesi — Ayrıntılı Çözümlü Polinomlar

Çarpanlara ayırma hesap makinesi hakkında

Bir polinomu çarpanlarına ayırmak, onu daha basit polinomların çarpımı olarak yazmaktır. Bu, parantez açmanın ters işlemidir ve cebirin en çok ihtiyaç duyulan becerilerinden biridir: ikinci ve üçüncü dereceden denklemleri çözmek, rasyonel ifadeleri sadeleştirmek, grafiğin sıfırlarını bulmak ve integralleri basit kesirlere ayırmaya hazırlamak için gerekir.

Hesap makinesi $6x^2 + 11x - 10$ veya $x^4 - 16$ gibi tek değişkenli polinomları ve $x^2 - 9y^2$ veya $x^2 - 5xy + 6y^2$ gibi tipik iki değişkenli polinomları çarpanlarına ayırır. Her zaman önce ortak çarpanı parantez dışına alır, ardından özdeşlikleri arar, sonra AC yöntemini ya da daha yüksek dereceler için rasyonel kök teoremini uygular. Rasyonel sayılar üzerinde daha fazla ayrılamayan kısım açıklamasız bırakılmaz, indirgenemez olarak işaretlenir.

Bir polinomu çarpanlarına ayırmak ne demektir?

Bir polinomu çarpanlarına ayırmak, onu her çarpanın derecesi daha küçük olan bir çarpım olarak yazmaktır. Örneğin $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ . Çarpanları çarptığınızda ilk polinomu yeniden elde edersiniz: bu, çarpanlara ayırmayı kontrol etmenin en basit yoludur.

Hiçbir çarpan rasyonel katsayılarla daha fazla ayrılamıyorsa çarpanlara ayırma tamdır. $x^2 - 2$ polinomu $(x - \sqrt2)(x + \sqrt2)$ çarpımına eşit olsa da rasyonel sayılar üzerinde indirgenemezdir, çünkü $\sqrt2$ irrasyoneldir. Okulda da bu hesap makinesinde de, problem açıkça gerçek veya karmaşık çarpanlar istemedikçe rasyonel sayılar üzerinde çalışılır.

Çarpanlara ayırma hesap makinesi nasıl kullanılır?

Polinomu kuvvetler için ^ kullanarak girin, örneğin 6x^2 + 11x - 10 veya x^3 - 8.
Polinomu herhangi bir sırayla veya parantezlerle yazabilirsiniz, örneğin (x + 1)(x + 2) + 3x: hesap makinesi önce parantezleri açar ve terimleri sıralar.
«Çarpanlara ayır» düğmesine basın. İlk adım polinomu azalan kuvvetlere göre standart biçimde yazar.
Yöntemin adımlarını izleyin: ortak çarpan, özdeşlik veya AC yöntemi; üçüncü ve dördüncü dereceden polinomlar için ise Horner yöntemiyle rasyonel kök denemesi.
Sonunda tam çarpanlara ayrılışı okuyun ve kontrol için ifade sadeleştirme hesap makinesiyle parantezleri açın.

Formüller

İki kare farkı

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Toplamın karesi ve farkın karesi

a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

Küplerin toplamı ve farkı

a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

AC yöntemi

ax^2 + bx + c:\ \text{bulun: } m, n \text{, öyle ki } mn = ac,\ m + n = b

$bx$ terimini $mx + nx$ olarak yazın ve gruplandırarak çarpanlarına ayırın.

Rasyonel kök teoremi

p(r/s) = 0 \Rightarrow r \mid a_0,\ s \mid a_n

Adaylar, sabit terimin bölenlerinin başkatsayının bölenlerine bölümleridir.

Çözümlü örnek: Üç terimli 6x² + 11x − 10

Çözümlü örnekte $6x^2 + 11x - 10$ üç terimlisi çarpanlarına ayrılır; bu, başkatsayının 1 olmadığı ve deneme yanılmanın uzun sürdüğü tipik bir durumdur. Hesap makinesi $a \cdot c = 6 \cdot (-10) = -60$ değerini hesaplar ve çarpımı $-60$ , toplamı $11$ olan iki tam sayı arar.

Bu sayılar $15$ ve $-4$ 'tür. Ortadaki terim $15x - 4x$ olarak yazılırsa dört terim ikişer ikişer gruplanabilir ve her ikilide ortak bir iki terimli ortaya çıkar. Doğrulamak için sonucun parantezlerini açın.

Aşağıdaki çözüm, yukarıdaki hesap makinesini çalıştıran aynı hesaplama motoru tarafından üretilmiştir.

Sonuç

(3x - 2)(2x + 5)

Probleminizi nasıl okuduk

Bir polinomu rasyonel sayılar üzerinde çarpanlarına ayırın

6x^{2} + 11x - 10

Adım adım çözüm

Polinomu standart biçimde yazın
$6x^{2} + 11x - 10$
AC yöntemini kullanın
Çarpın: a·c = 6·-10 = -60. Çarpımı -60, toplamı b = 11 olan iki sayı bulun: 15 ve -4.
$6x^{2} + 11x - 10 = 6x^2 + 15x - 4x - 10$
Gruplandırarak çarpanlarına ayırın
İlk iki ve son iki terimi gruplayın, her grubu çarpanlarına ayırın, ardından ortak iki terimliyi dışarı alın. Kökler -5/2 ve 2/3 olur.
Tam çarpanlara ayırmayı yazın
$(3x - 2)(2x + 5)$

Kullanılan formüller

İki kare farkı
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Tam kare üç terimli
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
Küplerin toplamı ve farkı
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
Rasyonel Kök Teoremi
$a_n x^n + \dots + a_0 = 0,\ \tfrac{p}{q} \text{ kök} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n$

6x^2 + 11x - 10, rasyonel sayılar üzerinde tamamen (3x - 2)(2x + 5) biçiminde çarpanlarına ayrılır.

Doğrulama

(3x - 2)(2x + 5) açıldığında yeniden 6x^2 + 11x - 10 elde edilir.

Ayrıntılı açıklama

Yöntemlerin sırası önemlidir

Güvenilir bir çarpanlara ayırma her zaman ortak çarpanla başlar. $2x^2 - 18$ ifadesinden $2$ dışarı alınırsa geriye $x^2 - 9$ kalır ve burada iki kare farkı hemen tanınır. Bu adım atlanırsa özdeşlik gözden kaçar ve içinde hâlâ ortak bir 2 çarpanı saklanan $(2x - 6)(x + 3)$ gibi eksik bir cevap elde edilir.

Ortak çarpandan sonra her şeyi ifadenin biçimi belirler. İki terim iki kare farkına veya küplerin toplamına ya da farkına; üç terim toplamın veya farkın karesine ya da AC yöntemine işaret eder; dört terim çoğu zaman gruplandırarak ayrılır. Üçüncü dereceden itibaren hesap makinesi rasyonel adayları dener ve bulunan her köke göre Horner yöntemiyle böler; her seferinde dereceyi bir azaltır ve gruplandırmayla aynı sonucu elde eder, örneğin $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = (x + 2)(x^2 + 3)$ .

AC yöntemi neden çalışır?

$ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)$ ise parantezler açıldıktan sonra $pr = a$ , $qs = c$ ve $ps + qr = b$ olur. $ps$ ve $qr$ sayılarının çarpımı $pq rs = ac$ , toplamı ise $b$ 'dir. Demek ki çarpımı $ac$ , toplamı $b$ olan iki sayıyı bulmak, çapraz terimleri bulmakla tamamen aynı şeydir; gruplandırma da iki terimlileri geri verir.

Uygun bir tam sayı çifti yoksa ikinci dereceden üç terimlinin rasyonel kökü yoktur ve rasyonel sayılar üzerinde indirgenemez. Bu, $b^2 - 4ac$ diskriminantıyla doğrulanabilir: rasyonel çarpanlar ancak ve ancak diskriminant bir tam kareyse vardır.

Yüksek dereceli polinomlar

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ gibi üçüncü dereceden bir polinom için rasyonel kök teoremi adayları $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ ile sınırlar. Deneme, $x = 1$ değerinin bir kök olduğunu gösterir; Horner yöntemi geriye $x^2 - 5x + 6$ bırakır ve bu üç terimli $(x - 2)(x - 3)$ olarak ayrılır.

Rasyonel kökü olmayan dördüncü dereceden polinomlar yine de iki ikinci dereceden üç terimlinin çarpımına ayrılabilir, örneğin $x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$ . Hesap makinesi dördüncü dereceden bir polinomu indirgenemez ilan etmeden önce tam sayı katsayılı bu tür üç terimli çiftlerini arar.

Sık yapılan hatalar

Önce ortak çarpanı dışarı almayı unutmak; bu yüzden çarpanlara ayırma eksik kalır.
$a^2 + b^2$ ifadesinin gerçek sayılar üzerinde ayrılabildiğini sanmak. Kareler toplamı karmaşık sayılar olmadan ayrılamaz.
Küp özdeşliklerinde işaret hatası yapmak: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ ; ikinci çarpanın ortadaki terimi artı işaretlidir.
Bir adımdan sonra durmak, örneğin $x^2 - 4$ hâlâ ayrılabilirken $x^4 - 16$ ifadesini $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$ olarak bırakmak.
Negatif bir başkatsayıyı dışarı alırken $-1$ çarpanını kaybetmek.

İpuçları

Sonucu her zaman çarpanları çarparak kontrol edin.
Yöntem seçmeden önce polinomu azalan kuvvetlere göre yazın.
AC yönteminde $ac$ sayısının bölen çiftlerini küçükten büyüğe sırayla yazın.
Diskriminant, ikinci dereceden bir üç terimlinin rasyonel sayılar üzerinde ayrılıp ayrılmadığını hızla gösterir.
Çarpanlar yerine kökler gerekiyorsa her çarpanı sıfıra eşitleyin.

Sıkça sorulan sorular

Bir polinomu çarpanlarına ayırmaya nereden başlanır?

Değişkenin ortak kuvveti dahil, bütün terimlerde ortak olan çarpanı dışarı alın. Diğer bütün yöntemler geriye kalan ifadeyle daha iyi çalışır.

Başkatsayısı 1 olmayan bir üç terimli nasıl çarpanlarına ayrılır?

AC yöntemini kullanın: a ile c'yi çarpın, çarpımı bu sayıya, toplamı b'ye eşit iki sayı bulun, ortadaki terimi bu iki parçaya ayırın ve gruplandırarak çarpanlarına ayırın.

«İndirgenemez» ne demektir?

Bir polinom, rasyonel katsayılı daha küçük dereceli polinomların çarpımı olarak yazılamıyorsa rasyonel sayılar üzerinde indirgenemezdir. Örneğin x kare artı 1 ve x kare eksi 2 rasyonel sayılar üzerinde indirgenemezdir.

Üçüncü ve dördüncü dereceden polinomları çarpanlarına ayırıyor mu?

Evet. Rasyonel kök teoremiyle rasyonel kökleri dener, Horner yöntemiyle böler; dördüncü derece için ayrıca tam sayı katsayılı iki ikinci dereceden üç terimlinin çarpımına ayrılışı arar.

İki değişkenli ifadeleri çarpanlarına ayırıyor mu?

Tipik iki değişkenli biçimler desteklenir: ortak tek terimli çarpan, x kare eksi 5xy artı 6y kare gibi homojen polinomlar, iki kare farkları ve bir değişkene göre gruplandırma. Üç veya daha fazla değişkenli ifadeler desteklenmez.

Çarpanlara ayırmanın denklem çözmeyle ilişkisi nedir?

Bir çarpım ancak ve ancak çarpanlardan en az biri sıfırsa sıfırdır. Bu yüzden sıfıra eşitlenmiş bir polinomu çarpanlarına ayırmak, zor bir denklemi birkaç basit denkleme dönüştürür.

Cevabım neden ders kitabındakinden farklı görünüyor?

Çarpanlar herhangi bir sırada olabilir ve eksi bir çarpanı bir parantezden diğerine geçebilir. İki cevabın da parantezlerini açın: aynı polinom çıkıyorsa ikisi de doğrudur.

Çarpanlara ayırma hesap makinesini deneyin

Bir polinom girin ve ortak çarpandan tam çarpanlara ayrılışa kadar her yöntemi izleyin.

Hesap makinesini kullanın Yapay zekâ çözücüye sorun

Polinomu Çarpanlarına Ayırma