Çevrimiçi Fonksiyon Grafiği Çizme — Fonksiyonlar, Eşitsizlikler ve Noktalar

Q: Eğride neden kopukluklar var?

Kopukluklar, fonksiyonun tanımsız olduğu yerlerde, örneğin x < 0 için √(x), ya da düşey asimptotlarda, örneğin 1/x için x = 0 noktasında ortaya çıkar.

Q: Denklemler grafik yardımıyla çözülebilir mi?

Evet, yaklaşık olarak: her tarafı çizin ve eğrilerin kesiştiği noktaların apsislerini bulun. Tam cevaplar için denklem çözücüyü kullanın.

Q: Telefonda çalışır mı?

Evet. Grafik ekran boyutuna uyum sağlar ve parmağınızla kaydırılabilir.

Q: İki eğrinin kesişim noktası nasıl bulunur?

Her fonksiyonu ayrı bir satıra girin ve kesişim noktasının yakınında yakınlaştırın. Apsisi, iki fonksiyonun eşitlenmesiyle elde edilen denklemi çözer; ordinatı ise bu noktadaki ortak değerleridir.

Grafik çizici hakkında

Grafik bir formülü resme dönüştürür: fonksiyonun sıfırları x eksenini kestiği noktalar, maksimumlar ve minimumlar tepeler ve çukurlar olur; asimptotlar ise eğrinin sonsuza gittiği yerlerde görünür.

$y > 2x + 1$ gibi eşitsizlikler taralı bir bölgeyle gösterilir: düz sınır, doğru üzerindeki noktaların çözüme dahil olduğunu ( $\le$ , $\ge$ ), kesikli sınır ise dahil olmadığını ( $<$ , $>$ ) gösterir. $(3, 0)$ gibi noktalar etiketli işaretlerle gösterilir; bu, sıfırları ve eksenleri kesim noktalarını kontrol etmek için çok kullanışlıdır.

Karşılaştırmak için beşe kadar satırı aynı anda girin. Çizici her eğriyi çok sık aralıklarla hesaplar, fonksiyonun tanımsız olduğu noktalarda ve düşey asimptotlarda sahte bağlantı çizgileri çizmek yerine eğriyi keser ve yakınlaştırdığınızda ya da kaydırdığınızda her şeyi anında yeniden çizer.

Grafik çizici nedir?

Grafik çizici, bir bağıntıyı sağlayan noktaların kümesini çizer. $y = f(x)$ fonksiyonu için görünür pencerenin tamamında birbirine çok yakın birçok $x$ değeri için $y$ 'yi hesaplar ve bunları bir eğriyle birleştirir. Bir eşitsizlik için düzlemde onun doğru olduğu tüm noktaları boyar, bir nokta listesi için de her koordinat çiftini işaretler.

Resim, yalnızca cebirle çözülmesi zor sorulara cevap verir: bir denklemin kaç çözümü vardır, çözümler yaklaşık olarak neredededir, fonksiyon artan mı azalan mı ve çok büyük ya da çok küçük $x$ değerlerinde nasıl davranır. Çizici tamamen tarayıcınızda çalışır: girdiğiniz hiçbir şey hiçbir yere gönderilmez.

Grafik çizici nasıl kullanılır?

x değişkenli bir fonksiyon girin; örneğin x^2 - 2x - 3 veya sin(x). y = veya f(x) = ile başlayabilirsiniz.
Eşitsizliği y'ye göre düzenleyin; örneğin y >= x^2 - 4 veya y < 3 - x. Düşey bir sınır için x < 2 veya x >= -1 yazın.
Nokta işaretlemek için onları parantez içinde, virgülle ayırarak yazın; örneğin (1, 2), (-3, 0.5).
Grafikleri farklı renklerde karşılaştırmak için «Giriş ekle» düğmesiyle yeni satırlar ekleyin.
Kaydırmak için grafiği sürükleyin, fare tekerleğiyle ya da + ve − düğmeleriyle yakınlaştırın; «Sıfırla» düğmesi başlangıç görünümüne döndürür.

Formüller

Eğim-kesim noktası biçiminde doğru denklemi

y = mx + b

Tepe noktası biçiminde parabol denklemi

y = a(x - h)^2 + k

Sinüs eğrisi

y = A\sin(Bx + C) + D

Çözümlü örnek

Örneğin $y = x^2 - 2x - 3$ girin. Eğri, kolları yukarı bakan bir paraboldür, çünkü $x^2$ 'nin katsayısı pozitiftir. $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$ olduğundan x eksenini fonksiyonun sıfırları olan $x = -1$ ve $x = 3$ noktalarında keser. y eksenini sabit terime eşit olan $-3$ noktasında keser; en alçak noktası olan tepe noktası ise sıfırların tam ortasında, $(1, -4)$ noktasındadır. İkinci satır olarak $y < x^2 - 2x - 3$ ekleyin: eğrinin altındaki bölge boyanır, sınır da kesikli olur.

Ayrıntılı açıklama

Bir eğrinin temel özellikleri nasıl okunur?

$y = f(x)$ 'in x eksenini kestiği noktalar $f(x) = 0$ denkleminin gerçek çözümlerine karşılık gelir; y eksenini kestiği nokta ise $f(0)$ 'dır. Tepeler ve çukurlar, türevin sıfır olduğu yerel maksimum ve minimumlardır. Eğrinin solda ve sağda sınırsızca mı büyüdüğü yoksa yatay bir doğruya mı yaklaştığı, sonsuzdaki davranışını gösterir. Düşey asimptotlar, rasyonel bir fonksiyonun paydasının sıfır olduğu yerlerde ortaya çıkar; örneğin $y = \frac{1}{x - 2}$ için $x = 2$ . Çizici orada süreksizlik boyunca sahte bir düşey çizgi çizmek yerine eğriyi keser.

Grafik dönüşümleri

Bir fonksiyonu değiştirilmiş biçimiyle yan yana çizmek, dönüşümleri anlamanın en hızlı yoludur. Dışarıdan $k$ eklerseniz, yani $f(x) + k$ , eğri $k$ birim yukarı kayar. $x$ yerine $x - h$ yazarsanız $h$ birim sağa kayar. $a$ ile çarpmak onu düşey doğrultuda uzatır; negatif bir $a$ ise ayrıca x eksenine göre yansıtır. Üç etkiyi aynı anda görmek için üç satırda $y = x^2$ , $y = (x - 2)^2$ ve $y = -x^2 + 3$ deneyin.

Denklemleri ve sistemleri grafikle çözme

$2^x = x + 3$ gibi bir denklemi çözmek için her tarafını ayrı bir satırda çizin ve kesişim noktalarını bulun; bu noktaların apsisleri çözümlerdir. İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistem de aynı şekilde çözülür. Grafik yaklaşık değerler verir: kaç çözüm olduğunu ve yaklaşık olarak nerede olduklarını görmek için onu kullanın, ardından tam cevaplar için denklem çözücüyle veya denklem sistemi hesap makinesiyle doğrulayın.

Sık yapılan hatalar

sin x'i parantezsiz yazmak; sin(x) kullanın.
$\sqrt{x}$ veya $\ln x$ grafiğini negatif x değerlerinde görmeyi beklemek; bunlar sırasıyla yalnızca $x \ge 0$ ve $x > 0$ için tanımlıdır.
Pencere çok küçük olduğu için özellikleri kaçırmak; genel biçimi görmek için önce uzaklaştırın.
Grafikten okunan yaklaşık bir kesişim noktasını tam cevap sanmak.

İpuçları

Bir denklemin iki tarafını iki ayrı fonksiyon olarak çizin; kesişim noktaları çözümlerdir.
Ötelemeleri görsel olarak görmek için $f(x)$ 'i $f(x) + k$ veya $f(x - h)$ ile karşılaştırın.
Eğrinin nerede arttığını kontrol etmek için paralel olarak türev hesap makinesini kullanın.
Koordinatlarını daha doğru okumak için eksenle ya da iki eğrinin kesişim noktasının yakınında yakınlaştırın.
Eğrinin gerçekten bilinen bir noktadan geçip geçmediğini kontrol etmek için o noktayı eğrinin yanında işaretleyin.

Sıkça sorulan sorular

Neler çizilebilir?

Sayılar, + − × ÷, kuvvetler, kökler, üstel fonksiyonlar, logaritmalar, mutlak değer ile trigonometrik, ters trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlardan oluşan x değişkenli her fonksiyon.

Aynı anda kaç fonksiyon çizilebilir?

Beşe kadar satır. Her satır bir fonksiyon, bir eşitsizlik veya bir nokta listesidir ve kendi renginde çizilir.

Bir eşitsizlik nasıl çizilir?

y bir tarafta yalnız kalacak şekilde yazın; örneğin y > 2x + 1 veya y <= x^2. Çözüm bölgesi boyanır; kesikli sınır çözüme dahil değildir, düz sınır ise dahildir. Düşey bir sınır için x < 3 veya x >= -2 yazın.

Noktalar işaretlenebilir mi?

Evet. Parantez içinde bir veya birkaç nokta girin; örneğin (2, 3) ya da (0, 0), (1, 1), (2, 4). Her nokta etiketli bir işaretle çizilir; satır başına en fazla 50 nokta.

Görünüm nasıl yakınlaştırılır ve kaydırılır?

İmlecin olduğu yere doğru fare tekerleğiyle ya da + ve − düğmeleriyle yakınlaştırın, görünümü kaydırmak için sürükleyin. «Sıfırla» düğmesi pencereyi −10 ile 10 aralığına döndürür.

Eğride neden kopukluklar var?

Kopukluklar, fonksiyonun tanımsız olduğu yerlerde, örneğin $x < 0$ için $\sqrt{x}$ , ya da düşey asimptotlarda, örneğin $\frac1x$ için $x = 0$ noktasında ortaya çıkar.

Denklemler grafik yardımıyla çözülebilir mi?