İkinci Dereceden Denklem Çözme: Çarpanlara Ayırma, Tam Kareye Tamamlama ve Kök Formülü

Bir denklemi ikinci dereceden yapan nedir?

İkinci dereceden bir denklem, $a \neq 0$ olmak üzere $ax^2 + bx + c = 0$ biçiminde yazılabilir. Bilinmeyenin en büyük kuvveti 2 olduğu için en fazla iki çözüm vardır; bunlara kök denir. Herhangi bir yöntemi uygulamadan önce bütün terimleri bir tarafa toplayın ki diğer tarafta sıfır kalsın. Bu isteğe bağlı değildir: hem sıfır çarpım özelliği hem de kök formülü bunu gerektirir.

Örneğin $x^2 = 3x + 10$, $x^2 - 3x - 10 = 0$'a dönüşür; yani $a = 1$, $b = -3$ ve $c = -10$'dur. Üç katsayıyı işaretleriyle birlikte önceden yazmak, ileride işaret hatalarından kaçınmanın en basit yoludur.

Grafikte çözümler, $y = ax^2 + bx + c$ parabolünün x eksenini kestiği noktaların apsisleridir. Parabol x eksenini iki kez kesebilir, tepe noktasında bir kez teğet olabilir ya da hiç değmeyebilir: bu yüzden ikinci dereceden bir denklemin iki, bir ya da hiç gerçek çözümü olabilir.

Hızlı özel durumlar: x'li terim ya da sabit terim yoksa

İki özel biçim genel bir yöntem gerektirmez.

• $b = 0$ ise $x^2$'yi yalnız bırakın ve iki işareti de unutmadan karekök alın: $x^2 = 49$, $x = \pm 7$'yi; $4x^2 - 9 = 0$ ise $x^2 = \frac{9}{4}$'ü, yani $x = \pm\frac{3}{2}$'yi verir.
• $c = 0$ ise $x$'i ortak paranteze alın: $x^2 - 5x = 0$, $x(x - 5) = 0$'a dönüşür; yani $x = 0$ ya da $x = 5$.

$x^2 - 5x = 0$'ın iki tarafını asla $x$'e bölmeyin. $x = 0$ çözümünü kaybedersiniz, çünkü $x = 0$ iken sıfıra bölmüş olursunuz.

Yöntem 1: çarpanlara ayırma

İkinci dereceden ifade iki doğrusal çarpana ayrılıyorsa gerisini sıfır çarpım özelliği halleder: $pq = 0$ ise $p = 0$ ya da $q = 0$'dır. $a = 1$ olduğunda çarpımı $c$'ye, toplamı $b$'ye eşit iki sayı arayın.

Burada $-5$ ile $2$'nin çarpımı $-10$, toplamı $-3$'tür. $a \neq 1$ olduğunda aynı aramayı AC yöntemi genişletir.

Çarpanlara ayırma hızlıdır, ama yalnızca kökler rasyonel olduğunda kullanışlıdır. Yararlı bir kontrol: tam sayı katsayılarla ifade, ancak ve ancak $b^2 - 4ac$ diskriminantı tam kare ise tam sayılar üzerinde ayrılır. $6x^2 + x - 2$ için bu değer $1 + 48 = 49 = 7^2$'dir. Daha fazla alıştırma için polinomları çarpanlara ayırma rehberine bakın.

Yöntem 2: tam kareye tamamlama

Tam kareye tamamlamada sol taraf bir tam kare artı bir sabit olarak yazılır. $x^2 + 6x - 7 = 0$'ı ele alalım. Sabiti diğer tarafa geçirin, ardından iki tarafa da $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 9$ ekleyin:

Demek ki $x = 1$ ya da $x = -7$. Aynı adımlar, parabolün tepe noktasını $(-3, -16)$'da gösteren $y = (x + 3)^2 - 16$ tepe noktası biçimini de verir. $a \neq 1$ durumu dahil tüm yöntem tam kareye tamamlama rehberimizde.

Yöntem 3: diskriminant ve kök formülü

Genel $ax^2 + bx + c = 0$ denkleminde tam kareye tamamlamak, her ikinci dereceden denklem için geçerli olan formülü verir:

Payın tamamını $2a$'nın üzerinde tutun. $-b \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ yazmak bu konudaki en sık hatalardan biridir.

Diskriminant ne söyler?

Kökün altındaki ifade, yani $\Delta = b^2 - 4ac$, hesabı bitirmeden önce çözümün türünü söyler:

• $\Delta > 0$: iki farklı gerçek kök; parabol x eksenini iki kez keser.
• $\Delta = 0$: iki katlı tek bir kök; tepe noktası x eksenine teğettir. Örnek: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$'nin tek kökü $x = 3$'tür.
• $\Delta < 0$: gerçek kök yoktur, ama iki karmaşık eşlenik kök vardır. Örnek: $x^2 + 2x + 5 = 0$ için $\Delta = 4 - 20 = -16$; yani $x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

Uygulama problemi: atılan topun yüksekliği

İkinci dereceden denklemler, sabit ivmeyle yükselip düşen her şeyi modeller. Topun $t$ saniye sonraki metre cinsinden yüksekliği $h = -5t^2 + 20t + 25$ olsun ($g \approx 10\ \text{m/s}^2$ alınarak).

Problemin koşullarında anlamı olmayan çözümü elemek cevabın bir parçasıdır, ayrıntı değil.

Hangi yöntem seçilmeli?

1. $b = 0$ ya da $c = 0$ ise yukarıda anlatılan hızlı özel durumları kullanın.
2. Katsayılar küçük tam sayılar ve diskriminant tam kare ise çarpanlara ayırmayı deneyin.
3. Tepe noktasına da ihtiyacınız varsa tam kareye tamamlayın.
4. Diğer bütün durumlarda kök formülünü uygulayın: her zaman çalışır.

Hangi yöntemle çözerseniz çözün, kökleri Vieta bağıntılarıyla kontrol edin. Köklerin toplamı $-\frac{b}{a}$'ya, çarpımı ise $\frac{c}{a}$'ya eşit olmalıdır. $6x^2 + x - 2 = 0$ için $\frac{1}{2}$ ve $-\frac{2}{3}$ köklerinin toplamı $-\frac{1}{6}$, çarpımı $-\frac{1}{3}$'tür; tam olarak $-\frac{b}{a}$ ve $\frac{c}{a}$.

Sık yapılan hatalar

• $x^2 = 3x + 10$'u, önce bütün terimleri bir tarafa toplamadan çözmeye çalışmak.
• Yalnızca pozitif kökü almak; bu yüzden $x^2 = 49$'da $x = -7$ çözümü kaybolur.
• Negatif $b$'yi yanlış kare almak: $b = -3$ ise $b^2 = 9$'dur, $-9$ değil. Yerine koyarken parantez kullanın.
• Payın yalnızca bir kısmını $2a$'ya bölmek.
• Çarpanları yanlış değere eşitlemek: $(x - 5)(x + 2) = 0$'ın kökleri $5$ ve $-2$'dir, işaretleri parantezdeki sayıların tersidir.

Çözümünüzü ikinci dereceden denklem hesap makinesiyle karşılaştırın ve kökleri x ekseni kesim noktaları olarak görmek için parabolü grafik çizicide çizin.

Uygulamada yöntem seçimi

Öğrenciler sık sık hangi yöntemin doğru olduğunu sorar. Doğru olan bütün yöntemler aynı kökleri verir; asıl soru, önünüzdeki denklem için hangisinin daha hızlı ve güvenilir olduğudur. Kısa bir sıra iyi işler. Önce eksik bir terim arayın: sabit terim yoksa $x$'i ortak paranteze alın; $x$'li terim yoksa $x^2$'yi yalnız bırakıp karekök alın. Sonra kendinize tam sayı çarpanları aramak için on beş saniye kadar süre tanıyın. Hiçbir şey görünmüyorsa yeni çarpan çiftleri denemek yerine doğrudan diskriminanta geçin.

Tam kareye tamamlama; problem tepe noktasını da istediğinde, $x$'in katsayısı çift ve baş katsayı 1 olduğunda ya da soru bunu açıkça istediğinde en iyi seçimdir. Grafik, kökleri tahmin etmek ve gerçek çözüm sayısını kontrol etmek için harikadır, ama grafikten okuma her zaman yaklaşıktır: kökler açıkça tam sayı değilse onu son cevap olarak değil, kontrol için kullanın.

Zamanın kısıtlı olduğu bir sınavda önce diskriminantı hesaplayın. Tam kare ise denklem tam sayılar ya da rasyonel sayılar üzerinde çarpanlarına ayrılır; negatifse gerçek kök olmadığını hemen bilirsiniz.

Kökleri kontrol etmek

Yerine koymak en güvenilir kontroldür: her kökü asıl denklemde yerine koyun ve sol tarafın sıfıra eşit olduğunu doğrulayın. İrrasyonel köklerde bunu elle yapmak yorucudur; bu yüzden köklerin toplamını ve çarpımını kullanın. $2x^2 + 4x - 3 = 0$ için $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ köklerinin toplamı $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{2}$'ye eşit olan $-2$, çarpımı ise $\frac{c}{a}$'ya eşit olan $\frac{4 - 10}{4} = -\frac{3}{2}$'dir. İkisi de tutuyor, yani kökler doğrudur.

Cevabın problemin koşullarında anlamlı olup olmadığını da kontrol edin. Top örneğinde denklemin köklerinden biri negatifti ve atıştan önceki negatif bir zamanın fiziksel anlamı yoktur: soruyu yalnızca pozitif kök yanıtlar. Uzunluk, fiyat ya da miktarla ilgili uygulama problemlerinde çözümlerden biri sık sık aynı nedenle elenir ve nedenini tek cümleyle açıklamaya değer.

Her adımı diskriminantı, kesin kökleri ve tepe noktasını gösteren ikinci dereceden denklem hesap makinesiyle karşılaştırabilirsiniz.

Sıkça sorulan sorular