Polinomları Çarpanlara Ayırma: Adım Adım Bir Yol Haritası

Çarpanlara ayırma neden gerekir?

Bir polinomu çarpanlarına ayırmak, onu daha basit polinomların çarpımı olarak yazmak demektir. $(x + 3)(x + 4)$'te parantezleri açmak $x^2 + 7x + 12$'yi verir; çarpanlara ayırma ise geri dönüş yoludur. Çarpanlarına ayrılmış biçim genellikle çok daha kullanışlıdır: denklemin çözümlerini hemen gösterir, ortak çarpanları sadeleştirerek kesirleri basitleştirir ve grafiğin x eksenini nerede kestiğini gösterir.

Her çarpanlara ayırma, çarpanlar yeniden çarpılarak kontrol edilebilir. Çarpma işlemi asıl polinomu tam olarak vermiyorsa bir yerde hata vardır; bu kontrolü alışkanlık hâline getirin.

Çarpanlara ayırma yol haritası

Her öğretmen ve her ders kitabı teknikleri biraz farklı sıralar, ama aşağıdaki yol haritası temel cebirdeki polinomların hemen hepsine uyar. Onu sırayla uygulayın ve ayrılacak bir şey kalmayana kadar her çarpan için baştan başlayın.

1. Bütün terimlerin en büyük ortak çarpanını paranteze alın.
2. Terimleri sayın. İki terim varsa iki kare farkını ya da iki küp toplamını veya farkını arayın.
3. Üç terim varsa tam kare arayın; değilse toplam ve çarpıma göre sayı bulun ya da AC yöntemini kullanın.
4. Dört terim varsa gruplamayı deneyin.
5. Üçüncü dereceden itibaren ve tanıdık bir biçim yoksa rasyonel kök teoremini ve polinom bölmesini kullanın.
6. Her çarpanı yeniden kontrol edin, ardından doğrulamak için çarpın.

1. adım: en büyük ortak çarpan

Her zaman buradan başlayın. Bütün katsayıları bölen en büyük sayıyı ve tüm terimlerde bulunan her değişkenin en küçük kuvvetini bulun.

Baş katsayı negatifse negatif bir ortak çarpan paranteze alın. $-x^2 + 4x - 3 = -(x^2 - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3)$, $x^2$'li negatif terimle uğraşmaktan çok daha kolaydır.

Baş katsayısı 1 olan üç terimliler

$x^2 + bx + c$ için $mn = c$ ve $m + n = b$ olan iki $m$ ve $n$ sayısı arayın. O zaman $x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)$ olur.

• $x^2 + 7x + 12$: 3 ile 4'ün çarpımı 12, toplamı 7'dir; buradan $(x + 3)(x + 4)$ çarpanları çıkar.
• $x^2 - 2x - 15$: $-5$ ile 3'ün çarpımı $-15$, toplamı $-2$'dir; buradan $(x - 5)(x + 3)$ çarpanları çıkar.
• $x^2 - 9x + 20$: $-4$ ve $-5$; bu da $(x - 4)(x - 5)$'i verir.

İşaretler kısa bir yol gösterir. $c$ pozitifse iki sayı da $b$'nin işaretini taşır. $c$ negatifse sayıların işaretleri farklıdır ve mutlak değerce büyük olan $b$'nin işaretini taşır.

Baş katsayısı herhangi olan üç terimliler: AC yöntemi

$a \neq 1$ olduğunda $a$'yı $c$ ile çarpın, çarpımı $ac$ ve toplamı $b$ olan iki sayı bulun, bu sayılarla ortadaki terimi ikiye ayırın ve ardından gruplayarak çarpanlarına ayırın.

Tam sayı katsayılı bir üç terimli, ancak ve ancak $b^2 - 4ac$ tam kare ise tam sayılar üzerinde çarpanlarına ayrılır. $3x^2 - 10x + 8$ için diskriminant $100 - 96 = 4$'tür, bu bir tam karedir; dolayısıyla sayı arama mutlaka sonuç verir. Diskriminant tam kare değilse aramayı bırakın ve ikinci dereceden denklemin kök formülünü kullanın.

Tanınması gereken özdeşlikler

Üç biçim o kadar sık karşınıza çıkar ki onları ilk bakışta tanımaya değer:

• $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$.
• $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$: iki kare farkı özdeşliği iki kez uygulanır.
• $4x^2 = (2x)^2$, $9 = 3^2$ ve $12x = 2(2x)(3)$ olduğundan $4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2$.
• $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ ve $27x^3 + 1 = (3x + 1)(9x^2 - 3x + 1)$.

$x^2 + 4$ gibi iki kare toplamı gerçek sayılar üzerinde çarpanlarına ayrılamaz. Diskriminantı $-16$'dır, yani negatiftir.

Dört terim: gruplayarak çarpanlara ayırma

Polinomu iki çifte ayırın, her çiftteki ortak çarpanı dışarı alın ve ortak bir parantez arayın.

Parantezler eşleşmiyorsa vazgeçmeden önce terimleri farklı çiftler hâlinde yeniden gruplayın.

Yüksek dereceler: rasyonel kök teoremi

Tam sayı katsayılı bir polinomda en sade biçimde yazılmış her $\frac{p}{q}$ rasyonel kökü şu koşulu sağlar: $p$ sabit terimi, $q$ ise baş katsayıyı böler. Biri sıfır verene kadar adayları deneyin, sonra ilgili doğrusal çarpana bölün.

Sonucunuzu karşılaştırmak isterseniz polinom hesap makinesi bölmeyi adım adım yapar.

Çarpanlara ayırırken sık yapılan hatalar

• Ortak çarpanı unutmak; bu yüzden daha zor bir üç terimli ve eksik bir cevap kalır.
• Çok erken durmak: $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$ henüz bitmemiştir, çünkü $x^2 - 4$ daha da ayrılır.
• $a^2 + b^2$'yi iki kare farkı gibi ele almak.
• Gruplarken işaret hataları: $-4x - 12 = -4(x + 3)$'tür, $-4(x - 3)$ değil.
• Çarparak kontrol etmemek. Bu yalnızca birkaç saniye sürer ve yukarıdaki hataların hepsini ortaya çıkarır.

Polinomlarınızı her adımda uygulanan yöntemi belirten çarpanlara ayırma hesap makinesinde kontrol edin ve rasyonel ifadeleri sadeleştirmek için çarpanlarına ayrılmış biçimleri kullanın.

Bir polinomun ayrılmadığını nasıl anlarsınız?

Her polinom tam sayılar üzerinde çarpanlarına ayrılmaz ve bunu erken fark etmek çok zaman kazandırır. Tam sayı katsayılı $ax^2 + bx + c$ ifadesi için $b^2 - 4ac$ diskriminantını hesaplayın. Bu bir tam kare ise polinom rasyonel katsayılı doğrusal çarpanlara ayrılır. Pozitif ama tam kare değilse kökler irrasyoneldir ve polinoma rasyonel sayılar üzerinde indirgenemez denir; negatifse polinom gerçek sayılar üzerinde hiç ayrılmaz.

Örneğin $x^2 + 3x + 1$'in diskriminantı $9 - 4 = 5$'tir ve bu bir tam kare değildir: çarpımı 1, toplamı 3 olan bir tam sayı çifti yoktur. Kökleri olan $\frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ kök formülüyle bulunur. $x^2 + 4$ kareler toplamının diskriminantı $-16$'dır ve gerçek sayılar üzerinde ayrılmaz, ama karmaşık sayılar üzerinde $(x - 2i)(x + 2i)$ biçiminde ayrılır.

Üçüncü ve daha yüksek dereceden polinomlar için rasyonel kök teoremi sonlu bir aday listesi verir. Bunların hiçbiri kök değilse polinomun rasyonel katsayılı doğrusal çarpanı yoktur; yine de dördüncü dereceden bir polinom iki ikinci dereceden ifadeye ayrılabilir.

Çarpanlara ayırma ileride nerede gerekecek?

Çarpanlara ayırma tek başına duran bir konu değildir. Polinom denklemlerini çözmek sıfır çarpım özelliğine dayanır: $AB = 0$ ise $A = 0$ ya da $B = 0$'dır. Rasyonel ifadeleri sadeleştirmek ortak çarpanların sadeleştirilmesine dayanır. x ekseni kesim noktaları ve polinomun işareti doğrudan çarpanlarına ayrılmış biçimden okunur; analizde de $\frac{0}{0}$ biçimindeki limitler çoğu zaman çarpanlara ayırıp sadeleştirerek bulunur.

Örneğin $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ yerine koyarak bulunamaz, ama pay $(x - 2)(x + 2)$ olarak ayrılıp sadeleştirilirse geriye $x + 2$ kalır; dolayısıyla limit 4'tür. İntegral almak için basit kesirlere ayırma da paydanın tamamen çarpanlarına ayrılmasıyla başlar.

Çarpanlara ayırmayı her zaman çarparak kontrol edin. Çarpmak ayırmaktan daha hızlıdır ve işaret hatalarını hemen ortaya çıkarır.

Çarpanlara ayırmanızı kontrol etmek için onu çarpanlara ayırma hesap makinesine girin ya da sonuçtaki parantezleri ifade sadeleştirme hesap makinesiyle açın.

Sıkça sorulan sorular