İntegral Hesap Makinesi

Yöntem seçimi

Tüm integraller için elle uygulanabilecek tek bir algoritma yoktur: işin inceliği ifadenin türünü tanımaktır. Doğrusallıkla başlayın: toplamı ayırın ve sabitleri dışarı alın, ardından kuvvetler, üstel fonksiyonlar, $\frac1x$ ve trigonometrik fonksiyonlar için integral tablosunu kullanın. İntegrandın bir kısmı diğer kısmın türeviyse değişken değiştirmeyi deneyin. Bir polinom ile bir üstel fonksiyon ya da bir polinom ile sinüs gibi farklı türden iki fonksiyonun çarpımıysa kısmi integrasyonu deneyin. Rasyonel fonksiyonlar basit kesirlere ayırmayı gerektirir; $\frac{1}{x^2 + 1}$ biçimindeki ifadeler ise ters trigonometrik fonksiyonlara götürür.

Hesap makinesi bu yöntemleri aşağı yukarı aynı sırayla dener ve işe yarayanı adlandırır — böylece adımlar bir dahaki sefere yöntemi seçmenize de yardımcı olur.

Adım adım değişken değiştirme

Değişken değiştirme, bileşke fonksiyonun türevi kuralını, yani zincir kuralını tersine çevirir. $\int 2x\cos(x^2)\,dx$'te iç fonksiyon $x^2$'dir ve türevi $2x$ çarpan olarak bulunur; bu yüzden $u = x^2$ ve $du = 2x\,dx$ alınır. İntegral $\int \cos u\,du = \sin u$'ya dönüşür ve başlangıçtaki değişkene dönülünce $\sin(x^2) + C$ elde edilir. Hesap makinesi bu satırların her birini gösterir. İç fonksiyonun türevi yalnızca sabit bir çarpan farkıyla bulunuyorsa, $x\cos(x^2)$'deki gibi, aynı değişken değiştirme $\frac12$ düzeltmesinden sonra işe yarar.

Kısmi integrasyon ve tablo yöntemi

Kısmi integrasyon, çarpımın türevi kuralını tersine çevirir: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. $u$ olarak türev alındıkça sadeleşen çarpanı, genellikle polinomu; $dv$ olarak ise kolayca integrali alınan çarpanı seçin. $u$, $n$. dereceden bir polinomsa $n$ tekrardan sonra sıfır olur ve tablo yöntemi bu tekrarları iki sütuna yerleştirir. Örneğin iki satırda bitmesinin nedeni budur: $x$'in türevi 1, sonra 0'dır.

Belirli integraller ve integral sınırları

Problemi belirli integrale dönüştürmek için alt ve üst sınırları doldurun. Hesap makinesi önce ilkel fonksiyonu bulur, ardından analizin temel teoremini uygular: $\int_0^3 x^2\,dx$ için $F(x) = \frac{x^3}{3}$'ü alır ve $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$'u hesaplar. Sınırlar pi/2 gibi ifadeler olabilir. Yalnızca sayısal değer gerekiyorsa belirli integral hesap makinesi, alanı sayısal olarak hesapladığı için elemanter ilkel fonksiyon olmadığında da çalışır.

Elemanter ilkel fonksiyon olmadığında

$e^{x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ ve $\sqrt{1 + x^3}$ gibi görünüşte basit bazı fonksiyonların ilkel fonksiyonları polinomların, köklerin, üstel fonksiyonların, logaritmaların ve trigonometrik fonksiyonların sonlu bir birleşimi olarak yazılamaz. Bu, yöntemin bir başarısızlığı değil, ispatlanmış bir gerçektir. Bu tür fonksiyonlar için hesap makinesi bir ilkel fonksiyon uydurmak yerine bulunamadığını bildirir; verilen bir aralıktaki belirli integral ise yine de sayısal olarak hesaplanabilir.

Örneğin belirli integral hesap makinesi $\int_0^1 e^{x^2}\,dx \approx 1.4627$ değerini sayısal olarak bulur ve sonucun yaklaşık olduğunu belirtir.

İntegral sabiti neden gerekir?

Her sabitin türevi sıfır olduğundan $\frac{x^3}{3}$, $\frac{x^3}{3} + 5$ ve $\frac{x^3}{3} - 2$'nin türevi aynıdır: $x^2$. Grafikleri yukarı veya aşağı kaydırma kadar farklıdır ve $+ C$ bu ailenin tamamını tanımlar. Ek bir koşul — bir başlangıç koşulu — ortaya çıkar çıkmaz sabit belirlenir. Hız $v(t) = 2t$ ise ve 0 anındaki konum 4 ise, integral alma $s(t) = t^2 + C$ verir ve $s(0) = 4$ koşulu $C = 4$ anlamına gelir. Belirli integralde sabit $F(b) - F(a)$'da sadeleşir; bu yüzden sayısal cevapta hiç görünmez.

İşaretli alan ve toplam alan

Belirli integral x ekseninin üstündeki alanı pozitif, altındakini negatif sayar. Tam bir periyotta $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$'dır, oysa eğri gayet pozitif bir alan sınırlar: eksenin üstündeki kemer ile altındaki çukur birbirini tam olarak dengeler. Problemde eğri ile eksen arasındaki toplam alan soruluyorsa fonksiyonun işaret değiştirdiği noktaları bulun, her parçanın integralini ayrı ayrı alın ve mutlak değerleri toplayın. $[0, 2\pi]$ üzerinde $\sin x$ için $2 + 2 = 4$ elde edilir.

Aynı ayrım hareket problemlerinde de karşımıza çıkar. Hızın integrali yer değiştirmeyi, yani konumdaki net değişimi; hızın mutlak değerinin integrali ise alınan toplam yolu verir.

Adımlar nasıl okunur?

Her adım integralin tek bir dönüşümünü gösterir: kural veya tablo satırı başlıkta, formül hemen altında yer alır. Doğrusallığı kullanan adımlar problemi ayrı ayrı çözülüp sonra yeniden toplanan daha küçük integrallere böler; bu yüzden uzun bir fonksiyon tek büyük bir sıçrama yerine daha uzun bir kısa adımlar listesi verir. Değişken değiştirmede $u$'yu tanımlayan satır $du$'yu da gösterir — yöntemin neden işe yaradığı tam orada görülür. Son adım, belirsiz integralde her zaman integral sabitini ekler; belirli integralde ise sınırları yerine koyar.