Analiz

Açıklamalı ve Çözümlü Örneklerle Türev Kuralları

Q: Kuvvet kuralı negatif ve kesirli üslerle çalışır mı?

Evet. Her gerçel üs için geçerlidir: d/(dx)x^(-1) = -x^(-2) ve d/(dx)x^(1/3) = 1/3x^(-2/3). Önce kökleri ve ters ifadeleri kuvvet biçiminde yeniden yazın.

Q: Bölüm kuralı olmadan yapılabilir mi?

Çoğu zaman evet. f/g'yi f · g^(-1) olarak yazıp çarpım ve zincir kurallarını uygulayın ya da kesri önceden sadeleştirin. İki yol da aynı sonuca götürür; ama bazen sonuçların aynı görünmesi için ek sadeleştirme gerekir.

Q: Zincir kuralının gerektiği nasıl anlaşılır?

Fonksiyon yalnızca x'ten başka bir şey içerdiğinde her zaman: bir parantezin kuvveti, 2x'in trigonometrik fonksiyonu, x'ten farklı bir kuvvete yükseltilmiş e ya da bir ifadenin logaritması. İç fonksiyon yalnızca x ise türevi 1'dir ve zincir kuralı hiçbir şeyi değiştirmez.

Q: e üzeri x'in türevi neden fonksiyonun kendisine eşittir?

e ≈ 2.71828 sayısı, a^x'in x = 0 noktasındaki eğiminin 1 olduğu tabanın ta kendisidir. Bu özellik sayesinde limit tanımı, her noktadaki eğimin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olduğunu gösterir.

Yazar MathSolver Pro Editorial Team · Yayımlanma 25 Ekim 2026

Türevleri limit tanımıyla hesaplamak yorucudur. Her biri bu tanımdan bir kez ispatlanmış küçük bir kurallar kümesi, hemen her formülün türevini birkaç satırda almayı sağlar. Bu rehber her kuralı tanıtır, neden işe yaradığını açıklar ve kuralların nasıl birleştirileceğini gösterir.

Neden limitler değil de kurallar?

Türev bir limit olarak tanımlanır, $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ , ve türev nedir makalesi bu tanımı basit fonksiyonlara uygular. Bunu her problemde yapmak bitkin düşürücü olurdu. Bunun yerine matematikçiler, bugün polinomları, kökleri, üstel fonksiyonları, logaritmaları, trigonometrik fonksiyonları ve bunların tüm birleşimlerini kapsayan genel kuralları bir kez ve kalıcı olarak ispatladılar.

Bu kuralları iki aile olarak düşünün: temel elementer fonksiyonların türevleri ve bunları toplamlarda, çarpımlarda, bölümlerde ve bileşke fonksiyonlarda birleştirme kuralları.

Temel kurallar: sabitler, kuvvetler ve toplamlar

\frac{d}{dx}c = 0, \qquad \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}, \qquad \frac{d}{dx}\big[c f(x)\big] = c f'(x), \qquad \frac{d}{dx}\big[f + g\big] = f' + g'

Bir sabit hiç değişmez: değişim hızı sıfırdır. Kuvvet kuralı yalnızca doğal sayılar için değil, her gerçel $n$ üssü için geçerlidir; bu yüzden göründüğünden çok daha kullanışlıdır. Sabit çarpan türevin dışına çıkar, bir toplamın türevi de türevlerin toplamına eşittir.

Örnek 1: bir polinom

$5x^4 - 3x^2 + 7x - 2$ 'nin terim terim türevini alalım.
$5 \cdot 4x^3 - 3 \cdot 2x + 7 - 0 = 20x^3 - 6x + 7$ .

Örnek 2: kökler ve ters ifadeler

Önce kuvvet biçiminde yeniden yazın: $\frac{4}{x^3} = 4x^{-3}$ ve $6\sqrt{x} = 6x^{1/2}$ .
$\frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4}$ .
$\frac{d}{dx}6x^{1/2} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{x}}$ .

Türev almadan önce kökleri ve paydasında $x$ bulunan kesirleri kuvvet olarak yazın. Kuvvet kuralıyla ilgili hataların çoğu bu adım atlandığında ortaya çıkar.

Üstel, logaritmik ve trigonometrik fonksiyonlar

Bu türevleri ezberlemeye değer, çünkü daha uzun problemlerin hepsi onlara dayanır:

\frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x\ln a}

\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x

$e^x$ fonksiyonu kendi türeviyle çakışır; $e$ 'nin analizde her yerde karşımıza çıkmasının nedeni de budur. Trigonometrik kurallar radyan cinsinden açılar gerektirir; derece kullanıldığında fazladan bir $\frac{\pi}{180}$ çarpanı ortaya çıkar. Diğer trigonometrik türevler şunlardır: $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$ , $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$ ve $\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$ ; hepsi aşağıda verilen bölüm kuralından çıkar.

Çarpımın türevi

\frac{d}{dx}\big[f(x)g(x)\big] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Çarpımın türevi türevlerin çarpımı değildir. Nedenini anlamak için kenarları $f$ ve $g$ olan bir dikdörtgen düşünün. İki kenar da biraz uzarsa alan, bir kenar boyunca $f' \cdot g$ boyutunda bir şerit ve diğer kenar boyunca $f \cdot g'$ boyutunda bir şerit kadar artar; artı limitte kaybolan minicik bir köşe parçası.

Örnek 3: $y = x^2\sin x$

$f = x^2$ ve $g = \sin x$ diyelim; o hâlde $f' = 2x$ ve $g' = \cos x$ .
$y' = 2x\sin x + x^2\cos x$ .
$x = \pi$ için: $y' = 2\pi \cdot 0 + \pi^2(-1) = -\pi^2$ .

Bölümün türevi

\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Burada çıkarma yüzünden sıra önemlidir. Kuralı şöyle söylemek işe yarar: payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi, hepsi bölü paydanın karesi.

Örnek 4: $y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$

$f = x^2 + 1$ , $f' = 2x$ ; $g = x - 1$ , $g' = 1$ .
$y' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}$ .
Payı sadeleştirelim: $2x^2 - 2x - x^2 - 1 = x^2 - 2x - 1$ ; demek ki $y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$ .

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ 'e uygulandığında $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ verir; bu da yukarıdaki tabloyu doğrular.

Zincir kuralı

Zincir kuralı bileşkenin, yani biri diğerinin içine yerleştirilmiş fonksiyonların türevini verir. $y = f(g(x))$ ise:

\frac{dy}{dx} = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)

Sözle: dış fonksiyonun türevi çarpı iç fonksiyonun türevi. İç fonksiyona dokunmadan dış fonksiyonun türevini alın, sonra iç fonksiyonun türeviyle çarpın. Leibniz gösteriminde $u = g(x)$ için $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ yazılır. Hızlar çarpılır: $u$ , $x$ 'ten 3 kat hızlı, $y$ de $u$ 'dan 2 kat hızlı değişiyorsa $y$ , $x$ 'ten 6 kat hızlı değişir. İç ve dış fonksiyonu tanımayı fonksiyonların bileşkesi konusu öğretir.

Örnek 5: zincir kuralıyla dört türev

$\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^5 = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 1)^4$ .
$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x$ .
$\frac{d}{dx}e^{-2x} = -2e^{-2x}$ .
$\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 4) = \frac{2x}{x^2 + 4}$ .

Kuralları birleştirmek

Gerçek problemlerde kurallar iç içe geçer. Dıştan içe doğru ilerleyin: ifadedeki son işlemi belirleyin, ona karşılık gelen kuralı uygulayın, ardından her parçayla ayrı ayrı ilgilenin.

Örnek 6: $y = xe^{3x}$

En dıştaki işlem çarpımdır: çarpım kuralını uygularız.
$e^{3x}$ 'in türevi zincir kuralı gerektirir: $3e^{3x}$ .
$y' = 1 \cdot e^{3x} + x \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(1 + 3x)$ .

Örnek 7: $y = x^x$ 'in logaritmik türevi

Ne kuvvet kuralı ne de üstel fonksiyon kuralı uyar, çünkü hem taban hem üs değişkendir.
Logaritma alalım: $\ln y = x\ln x$ .
İki tarafın türevini alalım, sol tarafı zincir kuralıyla: $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$ .
Demek ki $x > 0$ için $y' = x^x(\ln x + 1)$ .

$x^2 + y^2 = 25$ 'teki gibi $y$ yalnız bırakılamıyorsa zincir kuralı kapalı türev sayesinde yine işe yarar.

Sık yapılan hatalar

İç fonksiyonun türevini unutmak; örneğin $\sin(x^2)$ 'nin türevi olarak $\cos(x^2)$ yazmak.
Çarpım kuralını uygulamak yerine çarpanların türevlerini çarpmak.
Bölüm kuralının payındaki terimlerin yerini değiştirmek; bu işareti değiştirir.
Kuvvet kuralını $e^x$ 'e ya da $2^x$ 'e uygulamak; bunlar kuvvet fonksiyonu değil, üstel fonksiyondur.
Trigonometrik türevleri derece cinsinden hesaplamak.

Sonucu kontrol etmek için türev hesap makinesi her adımda hangi kuralı uyguladığını gösterir; grafik çizicide ise eğrinin eğimini türevinin değerleriyle karşılaştırabilirsiniz.

Ters trigonometrik fonksiyonlar

Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri cebirseldir; bu, başlangıçta birçok kişiyi şaşırtır. Ters bağıntının kapalı türevi alınarak elde edilirler; örneğin $y = \arcsin x$ ise $\sin y = x$ 'tir ve iki tarafın türevini almak $\cos y \cdot y' = 1$ verir. Arksinüsün değer kümesinde $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ olduğundan şu sonuca ulaşırız:

\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

Bu iki sonuç türev almaktan çok integral için önemlidir: $\int \frac{dx}{1 + x^2}$ gibi integrallerde neden arktanjantın ortaya çıktığını açıklarlar.

Yüksek mertebeden türevler

Türevin türevini almak ikinci türevi verir ve aynı kurallar geçerliliğini korur. $y = x^4$ için türevler $4x^3$ , sonra $12x^2$ , sonra $24x$ , sonra 24'tür; sonrakilerin hepsi 0'dır. $n$ . dereceden bir polinom, $n + 1$ kez türev alındıktan sonra her zaman sıfırlanır.

Sinüs ve kosinüs ise döngü hâlinde ilerler: $\sin x$ 'in türevleri $\cos x$ , $-\sin x$ , $-\cos x$ ve yeniden $\sin x$ 'tir; bu her dört adımda bir tekrarlanır. $e^x$ üstel fonksiyonu hiç değişmez. Bu düzenlilikler, bir fonksiyona tek bir noktadaki tüm türevleri yardımıyla yaklaşan Taylor serilerinin çıkış noktasıdır.

Çözümlü alıştırmalar

Cevabı okumadan önce her problemi çözmeye çalışın. Önce en dıştaki kuralı belirleyin.

$\frac{d}{dx}\left(2x^3 - \frac{1}{x}\right)$ . Cevap: $6x^2 + \frac{1}{x^2}$ .
$\frac{d}{dx}\left(x^3 e^x\right)$ . Cevap: çarpım kuralıyla $x^2e^x(3 + x)$ .
$\frac{d}{dx}\cos(5x + 1)$ . Cevap: zincir kuralıyla $-5\sin(5x + 1)$ .
$\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x}$ . Cevap: bölüm kuralıyla $\frac{1 - \ln x}{x^2}$ .
$\frac{d}{dx}\sqrt{1 + x^2}$ . Cevap: $\frac{1}{2}$ üssüyle zincir kuralını kullanarak $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$ .

Uygulamada kurallar: ilişkili değişim hızları

İlişkili hız problemlerini çözülebilir kılan tam da zincir kuralıdır. Bir gölde dairesel bir dalganın, yarıçapı saniyede 2 cm büyüyecek şekilde yayıldığını varsayalım. Alan $A = \pi r^2$ 'dir ve zamana göre türev almak $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$ verir. Yarıçap 10 cm olduğunda alan saniyede $2\pi(10)(2) = 40\pi \approx 125.7$ santimetrekare hızla büyür.

Aynı fikir duvar boyunca kayan merdiven, şişirilen balon ya da sokak lambasından uzaklaşan bir insanın gölgesi hakkındaki soruları yanıtlar. Her seferinde büyüklükleri birbirine bağlayan bir denklem kurulur, her terimin zamana göre türevi zincir kuralıyla alınır ve ancak ondan sonra ele alınan ana ait değerler yerine konur. Türev almadan önce yerine koymak klasik bir hatadır: değişken büyüklükleri sabitlere dönüştürür.

Sıkça sorulan sorular

Kuvvet kuralı negatif ve kesirli üslerle çalışır mı?

Evet. Her gerçel üs için geçerlidir: $\frac{d}{dx}x^{-1} = -x^{-2}$ ve $\frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$ . Önce kökleri ve ters ifadeleri kuvvet biçiminde yeniden yazın.

Bölüm kuralı olmadan yapılabilir mi?

Çoğu zaman evet. $\frac{f}{g}$ 'yi $f \cdot g^{-1}$ olarak yazıp çarpım ve zincir kurallarını uygulayın ya da kesri önceden sadeleştirin. İki yol da aynı sonuca götürür; ama bazen sonuçların aynı görünmesi için ek sadeleştirme gerekir.

Zincir kuralının gerektiği nasıl anlaşılır?

Fonksiyon yalnızca $x$ 'ten başka bir şey içerdiğinde her zaman: bir parantezin kuvveti, $2x$ 'in trigonometrik fonksiyonu, $x$ 'ten farklı bir kuvvete yükseltilmiş $e$ ya da bir ifadenin logaritması. İç fonksiyon yalnızca $x$ ise türevi 1'dir ve zincir kuralı hiçbir şeyi değiştirmez.

e üzeri x'in türevi neden fonksiyonun kendisine eşittir?

$e \approx 2.71828$ sayısı, $a^x$ 'in $x = 0$ noktasındaki eğiminin 1 olduğu tabanın ta kendisidir. Bu özellik sayesinde limit tanımı, her noktadaki eğimin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olduğunu gösterir.

Türev kuralları hangi sırayla uygulanır?

İfadeyi belirli bir sayı için hesaplarken yapacağınız son işlemle başlayın. Bu bir çarpmaysa çarpım kuralını, bir parantezin üzerine bir fonksiyon uygulanıyorsa zincir kuralını kullanın. Sonra her parça için aynı soruyu sorun ve içe doğru ilerleyin.

MathSolver Pro Editorial Team

Editörlük ve matematiksel denetim

Editör ekibimiz her rehberi yalnızca cevabı değil, her yöntemin ardındaki akıl yürütmeyi de açıklayacak şekilde yazar. Her çözümlü örnek yayımlanmadan önce sitenin çözüm motorları ve otomatik testlerle kontrol edilir; bir yöntem ya da sınav biçimi değiştiğinde makaleler hemen güncellenir.