Taylor Serileri: Fonksiyonlara Polinomlarla Yaklaşmak

Fikir: türevlerin çakışması

Polinomlar kullanımı en rahat fonksiyonlardır. Yalnızca toplama ve çarpmayla hesaplanabilirler; türevlerini ya da integrallerini almak ise rutin bir iştir. $e^x$, $\sin x$ ve $\ln x$ gibi fonksiyonları elle hesaplamak çok daha zordur. Taylor serisinin fikri, seçilen bir $a$ noktasının yakınında fonksiyon gibi davranan bir polinom bulmaktır.

Bir eğriye bir noktada en iyi uyan doğru teğettir: o noktada fonksiyonla aynı değere ve aynı birinci türeve sahiptir. Bir parabol ek olarak aynı ikinci türeve de sahip olabilir ve böylece grafiğin eğriliğini taklit eder. Kübik bir fonksiyon üçüncü türevde de çakışabilir ve bu böyle sürer. Çakışan her yeni türev, polinomu noktanın çevresinde giderek daha geniş bir bölgede fonksiyona yakın tutar. Bu sonsuza kadar sürdürülürse Taylor serisi elde edilir.

Taylor serisinin formülü

Polinomun $a$ noktasındaki $n$. türevinin $f^{(n)}(a)$'ya eşit olmasını istersek $(x - a)^n$'in katsayısı $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ olmalıdır. Faktöriyel, $(x - a)^n$'in $n$ kez türevi alındığında $n!$ vermesinden kaynaklanır. Serinin tamamı şöyledir:

$a = 0$ olduğunda seriye Maclaurin serisi denir ve kuvvetler yalnızca $x^n$'dir. $(x - a)^n$'e kadar olan terimlerden oluşan polinom, $P_n(x)$ ile gösterilen $n$. dereceden Taylor polinomudur. İlk iki terim tek başına, doğrusallaştırma da denen teğet yaklaşımını verir.

Üstel fonksiyonun serisini kuralım

$x = 1$ koyarak sabitin kendisi için ünlü formülü elde ederiz: $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots$; faktöriyeller çok hızlı büyüdüğü için bu formül daha bir düzine terimde 2,71828'i verir.

Bilinmesi gereken açılımlar

Bu Maclaurin serileri sürekli karşımıza çıkar ve diğerlerinin neredeyse tamamı bunlardan yerine koyma, çarpma, türev alma ya da integral alma yoluyla elde edilebilir:

Sinüs serisinde yalnızca tek kuvvetler vardır; bu, sinüsün tek fonksiyon olmasıyla uyumludur. Kosinüs serisinde ise yalnızca çift kuvvetler vardır; bu da onun simetrisine karşılık gelir. Sinüs serisinin terim terim türevini alırsanız kosinüs serisi elde edilir: tıpkı $\sin x$'in türevinin $\cos x$'e eşit olması gerektiği gibi.

Kontrol için: $\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.0998333$, kesin değer ise $0.0998334$'tür. İki terim şimdiden virgülden sonra altı doğru basamak verir: hesap makinelerinin trigonometrik fonksiyonları kısa polinomlarla bu kadar hızlı hesaplamasının nedeni budur.

Sıfırdan farklı bir noktada açılım

$a$'yı istenen değere yakın seçerseniz yaklaşım çok daha hızlı yakınsar. $\sqrt{4.1}$'i tahmin etmek için $\sqrt{x}$'i karekökün hemen bilindiği $a = 4$ noktasında açın.

Hata ne kadar büyük?

Taylor teoremi Taylor polinomunun hatasını verir. $a$ ile $x$ arasında $|f^{(n+1)}| \le M$ ise $n$. dereceden terimden sonraki kalan terim şu eşitsizliği sağlar:

$n = 3$ iken $e^{0.5}$ için dördüncü türev bu aralıkta $e^t \le e^{0.5} < 2$'dir; bu yüzden hata $\frac{2(0.5)^4}{24} \approx 0.0052$'den büyük değildir. Gerçek hata, $0.0029$, bu sınırın içinde kalır. Sınır tersine de işler: belirli bir doğruluğu garanti etmek için kaç terim gerektiğini daha hesaplamaya başlamadan söyler.

Sinüs ve kosinüs serileri gibi alterne seriler için daha da basit bir tahmin vardır: hata, atılan ilk terimi aşmaz. Bu kuralın ardındaki fikirler serilerin yakınsaklık testleri makalesinde ele alınmıştır.

Seri nerede yakınsar?

Taylor serisi her zaman ve her yerde kendi fonksiyonuyla çakışmaz. $\frac{1}{1 - x}$ için geometrik seri yalnızca $|x| < 1$ iken işler; $x = 2$'de sol taraf $-1$'e eşittir, serinin terimleri ise sınırsızca büyür. Serinin yakınsadığı $x$ değerlerinin kümesi $a$ çevresinde bir aralıktır ve bu aralığın genişliğinin yarısı yakınsaklık yarıçapıdır. Genellikle oran testi (d'Alembert) yardımıyla bulunur.

$e^x$, $\sin x$ ve $\cos x$ için seriler tüm gerçel $x$'lerde yakınsar. $\ln(1 + x)$ serisi $-1 < x \le 1$ için yakınsar; $x = 1$'de çok yavaş yakınsasa da şaşırtıcı bir sonuç verir: $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$.

Taylor serileri neden gerekir?

• Fonksiyonları hesaplamak: hesap makineleri ve yazılımlar Taylor polinomlarına çok benzeyen polinom yaklaşımları kullanır.
• Limitler: $\sin x$ yerine $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$ koyunca L'Hôpital kuralı olmadan $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$ olduğu görülür.
• Elementer ilkel fonksiyonu olmayan integraller: $e^{-x^2}$ serisinin terim terim integrali $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} \approx 0.7475$ verir; bu, kesin değer $0.7468$'e çok yakındır.
• Fizik: sarkaç için küçük açı yaklaşımı $\sin\theta \approx \theta$, sinüs serisinin ilk terimidir.
• Üç serinin karşılaştırılmasıyla elde edilen Euler formülü $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$.

Taylor serisi hesap makinesi herhangi bir fonksiyonu herhangi bir noktada istenen mertebeye kadar açar ve her türevi gösterir. Burada türev alabilmek şarttır; bu yüzden açıklamalı türev kuralları iyi bir tamamlayıcı olacaktır.

Her Taylor polinomu için işlem sırası

1. Açılım noktası $a$'yı seçin: değerlerin gerektiği yere yakın, fonksiyonun ve türevlerinin kolay hesaplandığı bir nokta.
2. Fonksiyonun, istenen derecenin gerektirdiği kadar türevini alın ve her türevi sadeleştirin.
3. Her türevi $a$ noktasında hesaplayın.
4. Her katsayıyı elde etmek için $n$. mertebeden değeri $n!$'e bölün.
5. $a = 0$ durumu dışında polinomu $x$'in değil, $(x - a)$'nın kuvvetleriyle yazın.
6. İlk katsayıyı kontrol edin: $P_n(a)$, $f(a)$'ya; $P_n$'nin $a$ noktasındaki eğimi de $f'(a)$'ya eşit olmalıdır.

Çoğu zaman yeni bir seriyi bilinen bir seriden kurmak tekrar tekrar türev almaktan daha hızlıdır. Örneğin $e^x$ serisinde $x$ değişkeninin yerine $-x^2$ koyarak hemen $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$ elde ederiz; sinüs serisini $x$ ile çarparak da $x\sin x$ serisini elde ederiz.

Grafikte yaklaşımlar

$\cos x$'i 2, 4 ve 6. dereceden Taylor polinomlarıyla birlikte çizin; belirgin bir düzen ortaya çıkar. 2. dereceden polinom, kolları aşağı bakan parabol, sıfır civarında kosinüs eğrisini iyi taklit eder, ama yaklaşık bir birim sonra ondan ayrılır. 4. dereceden polinom daha uzun süre yakında kalır, 6. dereceden olan ise eğriyi neredeyse ilk dalgasının tamamı boyunca izler. Hiçbir polinom sonsuza kadar salınamayacağı için her polinom sonunda sonsuza kaçar; ama ne kadar çok terim eklenirse bu ayrılma o kadar uzakta gerçekleşir: serinin yakınsaması uygulamada tam olarak bu anlama gelir.

Böyle bir görüntü sezgi geliştirmenin en iyi yoludur: yaklaşım açılım noktasının yakınında mükemmeldir ve ondan uzaklaştıkça kötüleşir. Grafik çizici, nasıl yakınsadıklarını görmeniz için bir fonksiyonu birkaç Taylor polinomuyla birlikte çizebilir.

Sıkça sorulan sorular