Türev Hesap Makinesi

Temel kurallar

Analize girişteki türevlerin neredeyse tamamı birkaç kuraldan çıkar. Kuvvet kuralı her gerçek $n$ için $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ verir ve kökleri de kapsar: $\sqrt{x} = x^{1/2}$'nin türevi $\frac{1}{2\sqrt{x}}$'dir. Sabit çarpanı dışarı alıp toplamın türevini terim terim alarak bir polinomun türevini terim terim bulursunuz. $e^x$ üstel fonksiyonu kendi türevine eşittir; logaritma için ise $\frac{d}{dx}\ln x = \frac1x$'tir. Altı trigonometrik fonksiyonun her birinin, $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ ve $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$ ile başlayan tablo türevi vardır.

Tablo türevleri üç yapısal kuralla birleştirilir. Çarpım kuralı $f \cdot g$ ile, bölüm kuralı $\frac{f}{g}$ ile, zincir kuralı ise başka bir fonksiyonun içindeki fonksiyonla ilgilenir. İfadenin yapısını tanımak işin büyük kısmıdır; bu yüzden hesap makinesi her adımın başlığında kuralın adını verir.

Zincir kuralı uygulamada

Kural şöyledir: $y = f(g(x))$ ise $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. İç fonksiyon olduğu gibi bırakılarak dış fonksiyonun türevi alınır ve iç fonksiyonun türeviyle çarpılır. $\sin(x^2)$'de dış fonksiyon sinüs, iç fonksiyon $x^2$'dir; bu yüzden türev $\cos(x^2) \cdot 2x$'tir. Hesap makinesi onu $2\cos(x^2)\,x$ olarak yazar — çarpanların yeri değiştirilmiş aynı ifade.

Zincir kuralı başka kuralların içinde de gizlidir. $e^{3x}$'te iç fonksiyon $3x$'tir; bu yüzden türev $3e^{3x}$'tir ve hesap makinesi bu adımı $e^u \cdot u'$ ile üstel fonksiyonun türevi olarak adlandırır. Çarpanı — iç fonksiyonun türevini — unutmak türev almadaki en yaygın hatadır; onu bulmanın en hızlı yolu, cevabınızı hesap makinesinin iç fonksiyon adımıyla karşılaştırmaktır.

Bölümler ve sadeleştirme

$\frac{u}{v}$ bölümü için kural $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ biçimindedir. Çıkarma değişmeli olmadığından paydaki sıra önemlidir. $\frac{e^{3x}}{x}$'in türevini alınca $\frac{3e^{3x} \cdot x - e^{3x}}{x^2}$ elde edilir; hesap makinesi bunu $\left(\frac3x - \frac{1}{x^2}\right)e^{3x}$ olarak sadeleştirir. $\frac{e^{3x}(3x - 1)}{x^2}$ gibi iki biçim de doğrudur. Cevabınız farklı görünüyorsa iki ifadeye de bir değer koyun, örneğin $x = 1$; birkaç noktada uyuşuyorlarsa bu, ifadelerin denk olduğunun iyi bir işaretidir.

Yüksek mertebeden türevler ve bir noktadaki değer

Bir kez daha türev alınca, eğimin kendisinin nasıl değiştiğini gösteren ikinci türev elde edilir. Pozitif ikinci türev eğrinin bir kâse gibi yukarı doğru açık, yani dışbükey olduğunu; negatif ikinci türev ise aşağı doğru açık, yani içbükey olduğunu gösterir. $f(x) = x^3$ için birinci türev $3x^2$, ikinci türev $6x$'tir; $x = 2$'de $f''(2) = 12$ bulunur. Fizikte $x^3$ bir konumu tanımlasaydı, 12 zamanın 2 anındaki ivme olurdu.

Birinci türevin bir noktadaki değeri oradaki teğetin eğimidir; noktanın kendisiyle birlikte teğet denklemini yazmayı sağlar. Doğrusal yaklaşım ve denklem çözmek için Newton yöntemi buna dayanır.

Türevle maksimum ve minimum bulma

Türevlenebilir bir fonksiyonun yerel maksimumu veya minimumu yalnızca türevinin sıfır olduğu ya da var olmadığı yerde olabilir: tepede veya çukurda teğet yataydır. Bir fonksiyonun ekstremumlarını incelemek için türevi bulun, $f'(x) = 0$ yazın, $x$ için çözün ve her kritik noktayı kontrol edin. $f(x) = x^3 - 3x$ için türev $3x^2 - 3$'tür ve $x = -1$ ile $x = 1$'de sıfır olur. İkinci türev $6x$, $-1$'de negatif, $1$'de pozitiftir; bu yüzden eğrinin $(-1, 2)$ noktasında maksimumu, $(1, -2)$ noktasında minimumu vardır.

Kapalı bir aralıkta en büyük ve en küçük değerlere uç noktalarda da ulaşılabilir; bu yüzden fonksiyonun oradaki değerlerini de karşılaştırın. Belirli bir hacimdeki bir kutu için malzemeyi en aza indirmek gibi birçok uygulamalı problem, optimize edilecek büyüklük tek değişkenli bir fonksiyon olarak yazılır yazılmaz tam olarak böyle çözülür.

Hesap makinesi sonucu nasıl kontrol eder?

Sembolik türev alma, özellikle sadeleştirme sırasında, fark edilmeden hata yapabilir; bu yüzden sonuç kontrol edilmeden kabul edilmez. Hesap makinesi türevinizi bir dizi kontrol noktasında hesaplar ve onu doğrudan orijinal fonksiyondan, küçük bir $h$ için hesaplanan $\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$ merkezi fark oranıyla karşılaştırır. Fonksiyonun tanımlı olduğu tüm noktalarda sıkı bir toleransla uyuşurlarsa kontrol geçilmiş olur ve sonucun altında gösterilir. Aynı fikri sıradan bir hesap makinesiyle elle de uygulayabilirsiniz: bir $x$ değeri seçin, onu biraz yukarı ve aşağı kaydırın ve $f$'deki değişimin $x$'teki değişime bölümünün türevinize uyup uymadığını kontrol edin.